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Regra de Três

Regra de Três – Matemática Básica

Regra de Três

A Regra de Três é um método matemático que permite encontrar um valor desconhecido a partir da relação entre outras três grandezas conhecidas. É uma ferramenta prática e muito utilizada em situações do dia a dia, como cálculos de receitas, descontos e consumo.

Regra de Três Simples

A Regra de Três Simples é usada quando temos apenas duas grandezas relacionadas, sejam elas diretamente ou inversamente proporcionais. O objetivo é encontrar o quarto valor desconhecido.

Exemplo: Com 14 litros de tinta, é possível pintar 35 m² de uma parede. Quantos litros de tinta são necessários para pintar 15 m²?

Organizando as grandezas:

$$ 35 \, m^{2} \;\longrightarrow\; 14 \, L \\ 15 \, m^{2} \;\longrightarrow\; x \, L $$

Como a área e a quantidade de tinta variam na mesma razão, temos uma relação de proporcionalidade direta:

$$ \frac{35}{15} = \frac{14}{x} $$

Resolvendo a proporção pela multiplicação cruzada:

$$ 35 \cdot x = 15 \cdot 14 = 210 \\ x = \frac{210}{35} = 6 \, L $$

Resposta: Para pintar 15 m², são necessários 6 litros de tinta.

Grandezas Inversamente Proporcionais

Quando uma grandeza aumenta e a outra diminui na mesma proporção, dizemos que são inversamente proporcionais.

Exemplo: 4 marceneiros fazem um armário em 18 dias. Em quantos dias 9 marceneiros fariam o mesmo armário?

$$ 4 \, m \;\longrightarrow\; 18 \, dias \\ 9 \, m \;\longrightarrow\; x \, dias $$

Mais trabalhadores significam menos dias. Assim, invertemos a razão:

$$ \frac{4}{9} = \frac{x}{18} $$

Resolvendo:

$$ 4 \cdot 18 = 72 \\ x = \frac{72}{9} = 8 \, dias $$

Resposta: 9 marceneiros fariam o trabalho em 8 dias.

Regra de Três Composta

A Regra de Três Composta é utilizada quando temos três ou mais grandezas relacionadas. Para resolver, é necessário analisar se cada relação é direta ou inversa, e depois montar a proporção.

Exemplo: 5 tratores preparam 20 hectares trabalhando 8 horas/dia, durante 7 dias. Quantas horas/dia serão necessárias se tivermos 14 tratores para preparar 54 hectares em 6 dias?

Organizando as grandezas:

$$ \text{Tratores:} \; 5 \longrightarrow 14 \\ \text{Hectares:} \; 20 \longrightarrow 54 \\ \text{Horas/dia:} \; 8 \longrightarrow x \\ \text{Dias:} \; 7 \longrightarrow 6 $$

As relações são:

  • Tratores × Horas/dia: inversamente proporcionais.
  • Hectares × Horas/dia: diretamente proporcionais.
  • Dias × Horas/dia: inversamente proporcionais.

Montando a proporção:

$$ \frac{8}{x} = \frac{14}{5} \cdot \frac{20}{54} \cdot \frac{6}{7} $$

Resolvendo:

$$ \frac{8}{x} = \frac{1680}{1890} \\ x = \frac{8 \cdot 1890}{1680} = 9 \, \text{horas/dia} $$

Resposta: Serão necessárias 9 horas/dia para concluir o trabalho.

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Problemas com Regra de Três – Matemática Básica

Problemas com Regra de Três

Vamos aplicar a Regra de Três em diferentes contextos, analisando passo a passo como organizar os dados, identificar a proporcionalidade e resolver as equações.

Exemplo 1: Preço de um Produto

Passo 1 – Organizar os dados

Sabemos que 4 kg de um produto químico custam R$ 24.000,00. Qual será o preço de 7,2 kg?

$$ 4 \, kg \; \longrightarrow \; 24.000 \, R\$ \\ 7,2 \, kg \; \longrightarrow \; x \, R\$ $$

Passo 2 – Analisar a proporcionalidade

A quantidade e o preço variam na mesma razão, portanto são grandezas diretamente proporcionais.

Passo 3 – Resolver a proporção

$$ \frac{4}{7,2} = \frac{24.000}{x} $$
$$ 4x = 7,2 \cdot 24.000 = 172.800 \\ x = \frac{172.800}{4} = 43.200 \, R\$ $$

Resposta: O custo será R$ 43.200,00.

Exemplo 2: Torneiras enchendo um tanque

Passo 1 – Organizar os dados

Uma torneira enche um tanque em 6 horas. Quanto tempo 4 torneiras iguais levarão?

$$ 1 \, \text{torneira} \; \longrightarrow \; 6 \, h \\ 4 \, \text{torneiras} \; \longrightarrow \; x \, h $$

Passo 2 – Analisar a proporcionalidade

Mais torneiras significam menos tempo. Assim, a relação é inversamente proporcional.

Passo 3 – Resolver a proporção

$$ \frac{1}{4} = \frac{x}{6} $$
$$ 4x = 6 \\ x = \frac{6}{4} = 1,5 \, h $$

Resposta: O tanque será cheio em 1 hora e 30 minutos.

Exemplo 3: Médicos por habitantes

Passo 1 – Organizar os dados

No Sudeste, há 1,35 médicos do SUS para cada 1000 habitantes. Quantos habitantes, em média, cada médico atende?

$$ 1,35 \, \text{médicos} \; \longrightarrow \; 1000 \, \text{hab} \\ 1 \, \text{médico} \; \longrightarrow \; x \, \text{hab} $$

Passo 2 – Resolver

$$ 1,35 \cdot x = 1000 \\ x = \frac{1000}{1,35} \approx 741 \, \text{habitantes} $$

Resposta: Cada médico atende, em média, 741 habitantes.

Exemplo 4: Operários em uma Fábrica

Passo 1 – Organizar os dados

Uma fábrica com X trabalhadores produz 2000 peças em 8 dias. Após contratar mais 20 trabalhadores, ela consegue produzir 2500 peças em 6 dias. Quantos trabalhadores havia inicialmente?

Passo 2 – Analisar a proporcionalidade

  • Mais trabalhadores → mais peças (diretamente proporcional).
  • Mais trabalhadores → menos dias (inversamente proporcional).

Passo 3 – Resolver

$$ \frac{X}{X + 20} = \frac{2000}{2500} \cdot \frac{6}{8} $$
$$ \frac{2000}{2500} = \frac{4}{5}, \quad \frac{6}{8} = \frac{3}{4} \\ \frac{X}{X + 20} = \frac{4}{5} \cdot \frac{3}{4} = \frac{3}{5} $$
$$ 5X = 3 (X + 20) \\ 5X = 3X + 60 \\ 2X = 60 \\ X = 30 $$

Resposta: A fábrica possuía inicialmente 30 trabalhadores.

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Adriano Rocha

Sou Adriano Rocha, professor de Matemática com mestrado e especialização em Resolução de Problemas, além de expertise em concursos públicos. Leciono no Colégio Estadual Mimoso do Oeste e utilizo metodologias inovadoras para aprimorar a compreensão matemática e a resolução de problemas. Produzo conteúdos como artigos para blogs, livros, eBooks e mapas mentais, além de desenvolver materiais didáticos e participar de eventos acadêmicos, sempre com o objetivo de contribuir para o ensino e aprendizagem da Matemática.
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