Sistemas lineares m × n
Este guia apresenta a teoria essencial de sistemas lineares m × n: forma matricial \(A\mathbf{x}=\mathbf{b}\), matriz aumentada, posto (rank), Regra de Rouché–Capelli, classificação (única solução, infinitas soluções ou nenhuma) e exemplos resolvidos via eliminação de Gauss. Conteúdo alinhado ao ENEM, vestibulares e cursos iniciais de Álgebra Linear. Para reforçar a revisão, veja nossos mapas mentais e o banco de questões.
Seja \(r=\operatorname{rank}(A)\) e \(r^*=\operatorname{rank}([A\mid \mathbf{b}])\) (matriz aumentada).
- Se \(r \neq r^*\): sistema incompatível (sem solução).
- Se \(r=r^*=n\): compatível determinado (solução única).
- Se \(r=r^*
Métodos de resolução
- Eliminação de Gauss/Gauss–Jordan (operações elementares de linha).
- Regra de Cramer (apenas para sistemas quadrados com \(\det(A)\neq 0\)).
- Métodos numéricos (LU, Jacobi, Gauss–Seidel) em sistemas grandes.
Exemplos resolvidos
Exemplo 1 — Única solução (m = n = 2)
\(\begin{cases} x+2y=5\\ 3x+4y=6 \end{cases}\)
Mostrar solução (eliminação de Gauss)
\(L_2 \leftarrow L_2-3L_1\): \((3x+4y)-(3x+6y)=6-15\Rightarrow -2y=-9\Rightarrow y=\dfrac{9}{2}\).
De \(x+2y=5\): \(x=5-2\cdot \dfrac{9}{2}=5-9=-4\).
Solução: \((x,y)=(-4,\;9/2)\).
Exemplo 2 — Infinitas soluções (m = 2, n = 3)
\(\begin{cases} x+y+z=3\\ 2x-y+z=1 \end{cases}\)
Mostrar solução (parâmetros livres)
\(L_2 \leftarrow L_2-2L_1\): \((2x-y+z)-2(x+y+z)=1-6\Rightarrow -3y – z = -5\Rightarrow 3y+z=5\).
Assim, \(y=\dfrac{5-z}{3}\). Da primeira, \(x=3-y-z=3-\dfrac{5-z}{3}-z=\dfrac{4-2z}{3}\).
Com \(z=t\in\mathbb{R}\):
\[
(x,y,z)=\Big(\tfrac{4}{3},\tfrac{5}{3},0\Big) + t\Big(-\tfrac{2}{3},-\tfrac{1}{3},1\Big).
\]
Infinitas soluções; uma base para a parte homogênea é \(\{(-2,-1,3)\}\) (multiplicando por 3).
Exemplo 3 — Sistema incompatível (sem solução)
\(\begin{cases} x+y=1\\ 2x+2y=3 \end{cases}\)
Mostrar verificação
\(L_2 \leftarrow L_2-2L_1\): \(0=1\) (contradição) \(\Rightarrow r \neq r^*\). Sem solução.
Exercícios (com soluções)
Exercício 1: Classifique e resolva \(\begin{cases} 2x-y=1\\ 4x-2y=2 \end{cases}\).
Mostrar solução
A segunda é \(2\)× a primeira. Rank \(r=1\) e \(r^*=1\lt n=2\) \(\Rightarrow\) infinitas soluções. De \(2x-y=1\): \(y=2x-1\). Parametrizando \(x=t\): \((x,y)=(t,\,2t-1)\).
Exercício 2: Resolva por eliminação \(\begin{cases} x-2y+3z=7\\ 2x+y-z=1\\ -x+3y+2z=4 \end{cases}\).
Mostrar solução
Matriz aumentada:
\(\left[\begin{array}{ccc|c}
1 & -2 & 3 & 7\\
2 & 1 & -1 & 1\\
-1 & 3 & 2 & 4
\end{array}\right]\).
\(L_2\leftarrow L_2-2L_1\Rightarrow (0,5,-7\mid -13)\).
\(L_3\leftarrow L_3+L_1\Rightarrow (0,1,5\mid 11)\).
Agora elimine o \(y\) do \(L_3\): \(L_3\leftarrow 5L_3-L_2\Rightarrow (0,0,32\mid 68)\).
Logo, \(z=\dfrac{68}{32}=\dfrac{17}{8}\).
De \(L_3\) original com \(y\): \(y+5z=11\Rightarrow y=11-5\cdot \tfrac{17}{8}=\tfrac{88-85}{8}=\tfrac{3}{8}\).
De \(L_1\): \(x-2y+3z=7\Rightarrow x=7+2\cdot \tfrac{3}{8}-3\cdot \tfrac{17}{8}
=7+\tfrac{6}{8}-\tfrac{51}{8}
=7-\tfrac{45}{8}
=\tfrac{56-45}{8}
=\tfrac{11}{8}\).
Solução: \(\left(\dfrac{11}{8},\dfrac{3}{8},\dfrac{17}{8}\right)\).
Exercício 3: Mostre que o sistema \(\begin{cases} x+y+z=0\\ 2x+2y+2z=0\\ -x-y-z=0 \end{cases}\) tem infinitas soluções e dê uma base do espaço solução.
Mostrar solução
As três equações são proporcionais \((L_2=2L_1,\,L_3=-L_1)\Rightarrow r=1\lt n=3\). Uma equação independente: \(x+y+z=0\Rightarrow x= -y-z\). Com \(y=s,\,z=t\): \((x,y,z)=(-s-t,s,t)=s(-1,1,0)+t(-1,0,1)\). Base: \(\{(-1,1,0),(-1,0,1)\}\).
Exercício 4 (revisado): Para \(A=\begin{bmatrix}1&2\\3&6\end{bmatrix}\) e \(\mathbf{b}=\begin{bmatrix}5\\10\end{bmatrix}\), classifique \(A\mathbf{x}=\mathbf{b}\).
Mostrar solução
As linhas de \(A\) são proporcionais: \(L_2=3L_1\) \(\Rightarrow r=\mathrm{rank}(A)=1\).
Na aumentada \([A\mid \mathbf{b}]=\begin{bmatrix}1&2&|&5\\3&6&|&10\end{bmatrix}\),
fazendo \(L_2\leftarrow L_2-3L_1\) obtemos \((0,0\,|\, -5)\), que é contradição.
Logo \(r^*=\mathrm{rank}([A\mid \mathbf{b}])=2\) e \(r\neq r^*\).
Conclusão: sistema incompatível (sem solução).
Resumo rápido
- \(A\mathbf{x}=\mathbf{b}\), matriz aumentada \([A\mid \mathbf{b}]\).
- Rouché–Capelli: compare \(r\) e \(r^*\) para decidir existência/quantidade de soluções.
- Se \(m=n\) e \(\det(A)\neq0\) \(\Rightarrow\) solução única e \(A^{-1}\) existe.
- Gauss/Gauss–Jordan são os métodos práticos mais universais.
Conclusão
Compreender sistemas lineares m × n passa por dominar a notação matricial, o conceito de posto e as operações elementares de linha. Esses pilares resolvem desde problemas do ENEM até aplicações de engenharia. Para manter tudo organizado durante os estudos, use nossos mapas mentais e o eBook Fórmulas Matemática.
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Adriano Rocha
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