Triângulo Isósceles — propriedades, fórmulas (uma por linha), exemplos e exercícios
O que é um triângulo isósceles?
É o triângulo que possui dois lados congruentes (iguais). Denotaremos os lados iguais por \(x\) e a base por \(b\). A reta de simetria sai do vértice comum aos lados iguais e encontra o ponto médio da base, atuando simultaneamente como altura, mediana e bissetriz.
Para situar-se entre os tipos de triângulos, compare com os triângulos retângulos e com casos notáveis como o equilátero. Se estiver revisando para provas, recomendo nossos Mapas Mentais de Matemática — ótimos para memorização rápida.
Propriedades essenciais
- Ângulos da base congruentes: se \(AB=AC\), então \(\angle B=\angle C\).
- Reta de simetria: a partir do vértice, altura = mediana = bissetriz.
- Perímetro: \(P=2x+b\).
- Condição de existência (desigualdade triangular): \(b<2x\) e \(x>0\).
- Classificação angular: pode ser acutângulo, retângulo ou obtusângulo.
Para aplicações com baricentro, incentro, etc., veja pontos notáveis do triângulo. Se quiser exercícios adicionais editáveis, acesse o Banco de Questões.
Fórmulas do triângulo isósceles (uma por linha)
Para comparação com fórmulas específicas dos triângulos retângulos (Pitágoras, razões trigonométricas e relações métricas), consulte o artigo: Triângulo Retângulo. Um bom resumo está na nossa coleção de 10 eBooks.
Exemplos resolvidos (passo a passo vertical)
Exemplo 1 — No triângulo isósceles com \(x=13\) e \(b=10\), calcule \(h\), \(A\) e \(P\).
Mostrar solução
\(h=\sqrt{13^2-5^2}\)
\(=\sqrt{169-25}\)
\(=\sqrt{144}\)
\(=12\).
\(A=\dfrac{b\cdot h}{2}\)
\(=\dfrac{10\cdot 12}{2}\)
\(=60\).
\(P=2x+b\)
\(=2\cdot 13+10\)
\(=36\).
Exemplo 2 — Dado \(x=8\) e \(\beta=40^\circ\), determine \(b\) e \(A\).
Mostrar solução
\(b=2x\sin(\beta/2)\)
\(=2\cdot 8\cdot \sin20^\circ\)
\(=16\cdot 0{,}3420\ldots\)
\(\approx 5{,}472\).
\(A=\dfrac{x^2}{2}\sin\beta\)
\(=\dfrac{64}{2}\cdot \sin40^\circ\)
\(=32\cdot 0{,}642788\ldots\)
\(\approx 20{,}57\ \text{u}^2\).
Dica: quando a altura aparece naturalmente, a área do triângulo isósceles fica muito rápida. Para revisar formas alternativas de área, veja Área de triângulo.
Exercícios de Múltipla Escolha — Triângulo Isósceles
Pratique as propriedades que mais caem. Compare, quando útil, com resultados clássicos dos triângulos retângulos. Para treinar mais, recomendo +600 Questões ENEM Comentadas.
1) Em um triângulo isósceles com \(x=13\) e \(b=10\), a área é:
Mostrar solução
\(h=\sqrt{13^2-5^2}\)
\(=\sqrt{169-25}\)
\(=\sqrt{144}=12\).
\(A=\dfrac{10\cdot 12}{2}=60\).
Alternativa B.
2) O perímetro é \(40\) e a base \(b=12\). O valor de \(x\) é:
Mostrar solução
\(2x+b=40\)
\(2x+12=40\)
\(2x=28\)
\(x=14\).
Alternativa C.
3) Com \(b=14\) e \(\alpha=50^\circ\), a altura é aproximadamente:
Mostrar solução
\(h=\dfrac{b}{2}\tan\alpha\)
\(=7\tan50^\circ\)
\(=7\cdot 1{,}1918\ldots\)
\(\approx 8{,}34\).
Alternativa B.
4) Para \(x=10\), qual base torna o triângulo isósceles retângulo (\(\beta=90^\circ\))?
Mostrar solução
\(b=2x\sin(\beta/2)\)
\(=2\cdot 10\cdot \sin45^\circ\)
\(=20\cdot \dfrac{\sqrt2}{2}\)
\(\approx 14{,}14\).
Alternativa C.
5) Se \(\beta=36^\circ\), cada ângulo da base mede:
Mostrar solução
\(\alpha=\dfrac{180^\circ-\beta}{2}\)
\(=\dfrac{180^\circ-36^\circ}{2}\)
\(=72^\circ\).
Alternativa C.
6) Para \(x=10\) e \(b=12\), o ângulo do vértice \(\beta\) é aproximadamente:
Mostrar solução
\(b=2x\sin(\beta/2)\Rightarrow \sin(\beta/2)=\dfrac{b}{2x}\)
\(\sin(\beta/2)=\dfrac{12}{20}=0{,}6\)
\(\beta/2\approx 36{,}87^\circ\)
\(\beta\approx 73{,}74^\circ\).
Alternativa C.
7) Com \(b=16\) e \(h=12\), o lado igual \(x\) vale aproximadamente:
Mostrar solução
\(x^2=h^2+\left(\dfrac{b}{2}\right)^2\)
\(=12^2+8^2\)
\(=144+64\)
\(=208\Rightarrow x=\sqrt{208}\approx 14{,}42\).
Alternativa C.
8) Para \(x=9\) e \(b=12\), a área é aproximadamente:
Mostrar solução
\(h=\sqrt{9^2-6^2}\)
\(=\sqrt{81-36}\)
\(=\sqrt{45}\approx 6{,}708\).
\(A=\dfrac{b\cdot h}{2}\)
\(=\dfrac{12\cdot 6{,}708}{2}\)
\(\approx 40{,}25\ \text{u}^2\).
Alternativa C.
9) Dado \(x=11\), o maior valor inteiro possível para \(b\) é:
Mostrar solução
\(b<2x\Rightarrow b<22\)
\(\Rightarrow b_{\max}\ \text{inteiro}=21\).
Alternativa C.
10) Para \(b=20\) e \(x=13\), o ângulo do vértice \(\beta\) é aproximadamente:
Mostrar solução
\(\sin(\beta/2)=\dfrac{b}{2x}\)
\(=\dfrac{20}{26}=0{,}76923\ldots\)
\(\beta/2\approx 50{,}28^\circ\)
\(\beta\approx 100{,}56^\circ\).
Alternativa B.
Se estiver estudando para concursos, veja nossos 10 eBooks e o treinão ENEM.
Continue estudando
Área de triângulo Triângulos retângulos Pontos notáveis Tipos de triângulos Triângulo equilátero Triângulo escaleno
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