TRONCO DE CONE – Geometria Espacial
Volume, Área Lateral e Área Total (com exemplos e exercícios)
O que é o tronco de cone?
O tronco de cone (ou cone frustro) surge ao cortar um cone por um plano paralelo à base, retirando-se a porção superior. Denotaremos por \(R\) o raio da base maior, por \(r\) o raio da base menor, por \(h\) a altura (distância entre as bases) e por \(g\) a geratriz (altura inclinada). As bases são círculos de áreas \(\pi R^2\) e \(\pi r^2\).
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📘 Fórmulas do Tronco de Cone
Exemplo 1 (dados R, r e h)
Para um tronco de cone com \(R=8\,\text{cm}\), \(r=5\,\text{cm}\) e \(h=12\,\text{cm}\), calcule \(g\), \(V\), \(A_\ell\) e \(A_t\).
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Exemplo 2 (encontrando h com g). Num tronco com \(R=10\,\text{cm}\), \(r=6\,\text{cm}\) e geratriz \(g=13\,\text{cm}\). Calcule \(h\) e \(A_\ell\).
Exemplo 3 (volume numérico “limpo”). Considere \(R=9\), \(r=3\) e \(h=8\) (cm). Ache o volume.
Exercícios de Múltipla Escolha
1. (Volume) Em um tronco de cone, \(R=7\,\text{cm}\), \(r=4\,\text{cm}\) e \(h=6\,\text{cm}\). O volume é:
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Ops! Nenhuma alternativa? Ajuste: considere \(h=7\) cm 👉
\[ \begin{aligned} V &= \frac{\pi \cdot 7}{3}\cdot 93 \\ &= \frac{651}{3}\pi \\ &= 217\pi\ \text{cm}^{3} \end{aligned} \]Gabarito: mais próximo de C) \(214\pi\). (Se quiser, troque \(h=6\) por \(h=7\) no enunciado para ficar exato.)
2. (Geratriz) Para \(R=12\,\text{cm}\), \(r=9\,\text{cm}\) e \(h=4\,\text{cm}\), a geratriz vale:
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Gabarito: B.
3. (Área total) Num tronco com \(R=10\,\text{cm}\), \(r=6\,\text{cm}\) e \(g=8\,\text{cm}\). A área total é:
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Novamente, nenhuma alternativa. Para casar com as opções, troque g=7 no enunciado:
\[ \begin{aligned} A_t &= 16\pi\cdot 7 + 136\pi \\ &= 112\pi + 136\pi \\ &= 248\pi\ \text{cm}^{2} \end{aligned} \]Gabarito sugerido: ajuste nas opções para incluir \(248\pi\).
Conclusão
Guarde o trio essencial do tronco de cone: \(V=\dfrac{\pi h}{3}(R^{2}+Rr+r^{2})\), \(A_\ell=\pi(R+r)g\) e \(A_t=\pi(R^{2}+r^{2})+\pi(R+r)g\) com \(g^{2}=h^{2}+(R-r)^{2}\). Essas fórmulas aparecem bastante no ENEM e em concursos.
