Volume e Área do Cilindro
O cilindro circular reto aparece em latas, copos, tubos e tanques. Neste guia você encontra as fórmulas, por que funcionam, exemplos comentados e uma lista de exercícios com soluções. Em todo o texto: \(r\) é o raio do círculo da base e \(h\) é a altura (distância perpendicular entre os planos das bases).
Quer o conteúdo separado? Veja Fórmula Volume do Cilindro e Área do Cilindro. Para o panorama dos sólidos redondos, confira Corpos redondos (compare com cone e esfera).
Fórmulas essenciais
Volume: \(\displaystyle V=\pi r^2 h\)
Área lateral (rótulo): \(\displaystyle A_L=2\pi r h\)
Área total (lateral + duas bases):
\(\displaystyle A_T=2\pi r h+2\pi r^2=2\pi r(r+h)\)
Unidades: se \(r\) e \(h\) estão em cm, \(V\) sai em cm³ (1 cm³ = 1 mL) e \(A\) em cm². 1 L = 1 000 cm³, 1 m³ = 1 000 L.
Por que as fórmulas funcionam?
- Volume como “base × altura”: o cilindro é um prisma de base circular; logo \(V=A_{\text{base}}\cdot h=\pi r^2 h\). Para um cilindro oblíquo, o volume continua o mesmo usando a altura perpendicular.
- Área pela planificação: ao abrir a superfície, obtemos um retângulo de lados \(2\pi r\) e \(h\) (a lateral) e dois círculos de área \(\pi r^2\) (as tampas). Somando, \(A_T=2\pi r h+2\pi r^2\).
Variações frequentes
- Sem tampa (aberto em cima): \(A=2\pi r h+\pi r^2\).
- Somente rótulo: \(A=A_L=2\pi r h\).
- Tubo oco (com furo coaxial): volume \(V=\pi(R^2-r^2)h\). Se as bordas planas estiverem expostas, a área é \(2\pi Rh+2\pi rh+2\pi(R^2-r^2)\).
- Escalas: se \(r\) e \(h\) são multiplicados por \(k\), então \(V\) cresce por \(k^3\) e \(A\) por \(k^2\).
Exemplos resolvidos
Exemplo 1 – Lata padrão. Uma lata tem \(r=4\) cm e \(h=10\) cm. Calcule a capacidade (em L) e a área total (em cm²).
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Volume \(=160\pi\approx 502{,}65\ \text{cm}^3=0{,}503\ \text{L}\). Área total \(=2\pi r(r+h)=2\pi\cdot4\cdot14=112\pi\approx 351{,}86\ \text{cm}^2\).
Exemplo 2 – Encontrar a altura. Deseja-se \(V=1\,000\ \text{cm}^3\) com \(r=4\) cm. Determine \(h\).
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\(h=\dfrac{V}{\pi r^2}=\dfrac{1000}{16\pi}\approx 19{,}89\ \text{cm}\).
Exemplo 3 – Tubo metálico. Um tubo tem \(R=8\) cm, \(r=6\) cm e \(h=20\) cm. Encontre o volume do metal (em L).
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\(V=\pi(R^2-r^2)h=\pi(64-36)\cdot20=560\pi\approx 1{,}759\ \text{L}\).
Exemplo 4 – Pintura externa do tanque fechado. Para \(r=1{,}2\) m e \(h=2{,}5\) m, qual a área a pintar?
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\(A_T=2\pi r(r+h)=2\pi\cdot1{,}2\cdot3{,}7=8{,}88\pi\approx 27{,}88\ \text{m}^2\).
Exercícios (múltipla escolha com solução)
Em todos os itens, cilindro circular significa que a base é um círculo. Quando dissermos “reto”, o eixo é perpendicular às bases; quando dissermos “oblíquo”, use sempre a altura perpendicular \(h\). Notação: \(r\) = raio da base circular; \(h\) = altura; em tubos, \(R\) = raio externo e \(r\) = raio interno. Use \(\pi \approx 3{,}1416\).
1) Considere um cilindro circular reto com raio da base \(r=4\) cm e altura \(h=10\) cm. Qual é a capacidade (volume) em litros?
- 0,45
- 0,50
- 0,55
- 0,60
Solução
\(V=\pi r^2h=160\pi\approx \mathbf{0{,}503\ \text{L}}\) → B.
2) Para o mesmo cilindro do item 1 (cilindro reto, \(r=4\) cm, \(h=10\) cm), qual é a área total da superfície (lateral + duas bases), em cm²?
- 339
- 346
- 352
- 365
Solução
\(A_T=2\pi r(r+h)=112\pi\approx \mathbf{351{,}86}\) → C.
3) Um copo cilíndrico reto tem raio da base \(r=3\) cm e altura \(h=12\) cm. Cheio até a borda, quantos mL cabem no copo?
- 314
- 339
- 360
- 400
Solução
\(V=108\pi\approx \mathbf{339}\ \text{mL}\) → B.
4) Um rótulo retangular envolve a lateral de uma lata cilíndrica. O rótulo tem largura igual à circunferência da base (22 cm) e altura 12 cm. Qual é a área do rótulo (apenas a lateral), em cm²?
- 220
- 242
- 264
- 286
Solução
Área do rótulo \(= (2\pi r)\cdot h=22\cdot12=\mathbf{264}\) → C.
5) Um frasco cilíndrico reto deve ter volume \(V=1\,000\) cm³ (1 L). Se o raio da base é \(r=4\) cm, determine a altura \(h\) (em cm).
- 17,5
- 18,8
- 19,9
- 21,0
Solução
\(h=\frac{V}{\pi r^2}=\frac{1000}{16\pi}\approx \mathbf{19{,}9}\) → C.
6) Um tubo cilíndrico oco (coaxial) tem raio externo \(R=8\) cm, raio interno \(r=6\) cm e altura \(h=20\) cm. Qual é o volume de material (em litros)?
- 1,64
- 1,70
- 1,76
- 1,90
Solução
\(V=\pi(R^2-r^2)h=\pi(64-36)\cdot20=560\pi\approx \mathbf{1{,}76}\ \text{L}\) → C.
7) Junta-se o conteúdo de dois cilindros retos: A com \(r=3\) cm e \(h=20\) cm; B com \(r=4\) cm e \(h=10\) cm. O líquido é transferido para um terceiro cilindro reto C com raio \(r=5\) cm. Qual será a altura final \(h\) (em cm) no recipiente C?
- 12,0
- 13,6
- 15,0
- 16,5
Solução
Volume total \(=108\pi+160\pi=340\pi\). Em C: \(h=\frac{340\pi}{25\pi}=\mathbf{13{,}6}\) → B.
8) Um tanque cilíndrico fechado (cilindro reto com tampas) tem raio \(r=1{,}2\) m e altura \(h=2{,}5\) m. Qual é a área externa total a pintar (m²)?
- 23,36
- 25,10
- 27,88
- 29,40
Solução
\(A_T=2\pi r(r+h)=2\pi\cdot1{,}2\cdot3{,}7=8{,}88\pi\approx \mathbf{27{,}88}\) → C.
9) Um fabricante de cilindros retos aumenta todas as dimensões lineares (raio e altura) em 20%. O aumento percentual da área total e do volume é, respectivamente:
- 36% e 64%
- 44% e 72,8%
- 44% e 80%
- 50% e 100%
Solução
Escala \(k=1{,}2\). Área → \(k^2=1{,}44\) (↑44%); Volume → \(k^3=1{,}728\) (↑72,8%). Alternativa B.
10) Um cilindro reto tem área total \(A_T=300\pi\) cm² e raio \(r=6\) cm. Determine a altura \(h\) (em cm).
- 17
- 18
- 19
- 21
Solução
\(2\pi r(r+h)=300\pi\Rightarrow 12(r+h)=300\Rightarrow h=\mathbf{19}\) → C.
11) Um cilindro oblíquo possui raio da base \(r=6\) cm e altura perpendicular \(h=10\) cm (distância entre os planos das bases). Qual é o volume (em litros)?
- 1,047
- 1,131
- 1,210
- 1,309
Solução
Para oblíquo, \(V=\pi r^2h\) usando a altura perpendicular: \(360\pi\ \text{cm}^3\approx \mathbf{1{,}131}\ \text{L}\) → B.
12) Na planificação da lateral de um cilindro reto, o retângulo (rótulo) tem largura 94,2 cm (igual à circunferência \(2\pi r\)) e altura 30 cm. Qual é a área do rótulo?
- 2 700 cm²
- 2 765 cm²
- 2 826 cm²
- 2 890 cm²
Solução
\(A_L=\text{largura}\times h=94{,}2\cdot30=\mathbf{2\,826}\ \text{cm}^2\) → C.
