📘 Dicionário de Matemática — Letra M
Verbete por verbete, com destaque para termo, definição e fórmulas: de matriz, médias e momento a MDC/MMC, módulo (congruência), mínimos quadrados, Monte Carlo e multinomial.
Como usar
Role e consulte os verbetes. Cada bloco traz o termo (chip azul), a definição (faixa verde) e a fórmula/exemplo (faixa roxa) quando pertinente.
MatrizÁlgebra Linear
Arranjo retangular de números/elementos em linhas e colunas, representando transformações lineares e sistemas.
Multiplicação: \((AB)_{ij}=\sum_k A_{ik}B_{kj}\).
Matriz Diagonal / TriangularÁlgebra Linear
Diagonal: elementos fora da diagonal principal são 0. Triangular: zeros acima (inferior) ou abaixo (superior) da diagonal.
\(\det(\text{triangular})=\) produto da diagonal.
Matriz Simétrica / Definida PositivaÁlgebra Linear
Simétrica: \(A=A^{\top}\). Definida positiva: \(x^{\top}Ax>0\) para \(x\neq 0\).
Autovalores de \(A\succ0\) são positivos; fatoração de Cholesky \(A=LL^{\top}\).
MDC (Máximo Divisor Comum)Aritmética
Maior inteiro que divide \(a\) e \(b\).
Algoritmo de Euclides: \(\gcd(a,b)=\gcd(b,\,a\bmod b)\).
MMC (Mínimo Múltiplo Comum)Aritmética
Menor inteiro múltiplo de \(a\) e \(b\).
\(\operatorname{mmc}(a,b)=\dfrac{|ab|}{\gcd(a,b)}\).
Módulo (Congruência)Teoria dos Números
\(a\equiv b \pmod m\) se \(m\) divide \(a-b\); aritmética em classes residuais.
Inverso de \(a\) mod \(m\) existe se \(\gcd(a,m)=1\).
Módulo (Número Complexo)Números Complexos
Distância de \(z=x+iy\) à origem no plano complexo.
\(|z|=\sqrt{x^2+y^2}\); \(|z_1z_2|=|z_1||z_2|\).
Norma \( \ell_p \) (Média Quadrática etc.)Análise / Vetores
Medida de comprimento em \(\mathbb{R}^n\). Casos: \(p=2\) (euclidiana/RMS), \(p=1\) (Manhattan), \(p=\infty\) (máximo).
\(\|\mathbf{x}\|_p=\left(\sum_i |x_i|^p\right)^{1/p}\).
Média AritméticaEstatística
Soma dos valores dividida pelo total de observações.
\(\bar x=\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i\).
Média PonderadaEstatística
Cada valor contribui segundo um peso.
\(\bar x_w=\dfrac{\sum w_i x_i}{\sum w_i}\).
MedianaEstatística
Valor central quando os dados estão em ordem; robusta a outliers.
Para \(n\) ímpar: posição \((n+1)/2\); para \(n\) par: média dos dois centrais.
ModaEstatística
Valor mais frequente de um conjunto de dados (pode haver mais de uma).
Momento (k-ésimo)Probabilidade
Média de \(X^k\) (central ou em torno de zero) que resume forma da distribuição.
Central: \(\mu_k=\mathbb{E}[(X-\mu)^k]\); variância é \(\mu_2\).
Função Geradora de Momentos (mgf)Probabilidade
Gera momentos por derivação em \(t=0\).
\(M_X(t)=\mathbb{E}[e^{tX}]\); \(M_X^{(k)}(0)=\mathbb{E}[X^k]\).
Maclaurin (Série)Séries
Série de Taylor centrada em \(0\).
\(f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n\).
Mínimos QuadradosEstatística / Numérico
Ajuste de parâmetros minimizando a soma dos quadrados dos resíduos.
\(\hat\beta=(X^\top X)^{-1}X^\top y\) (modelo linear clássico).
Monte Carlo (Método)Probabilidade / Numérico
Aproxima quantidades por amostragem aleatória repetida.
Estimativa \(\hat\theta=\dfrac{1}{N}\sum_{i=1}^N h(X_i)\) para \(X_i\) i.i.d.
Distribuição MultinomialProbabilidade
Generaliza a binomial para \(k\) categorias em \(n\) ensaios independentes.
\(\mathbb{P}(X_1=x_1,\dots,X_k=x_k)=\dfrac{n!}{\prod_i x_i!}\prod_i p_i^{x_i}\), \(\sum x_i=n\), \(\sum p_i=1\).
Matriz de Transição (Markov)Processos Estocásticos
Matriz estocástica com probabilidades de ir de um estado a outro em um passo.
\(\pi^{(n)}=\pi^{(0)}P^n\); estado estacionário \(\pi=\pi P\).
Distância de MinkowskiGeometria / Dados
Família de distâncias que generaliza Euclidiana (\(p=2\)) e Manhattan (\(p=1\)).
\(d_p(x,y)=\left(\sum_i |x_i-y_i|^p\right)^{1/p}\).
Monótona (Crescente/Decrescente)Análise
Crescente: não diminui; decrescente: não aumenta, em um intervalo.
Se \(f'(x)\ge0\) em \(I\), \(f\) é crescente em \(I\) (condição suficiente).
MediatrizGeometria
Reta perpendicular a um segmento passando por seu ponto médio; locus dos pontos equidistantes dos extremos.
Marginal (Distribuição)Probabilidade
Distribuição de um subconjunto de variáveis obtida por soma/integração das demais.
\(f_X(x)=\int f_{X,Y}(x,y)\,dy\) (contínua) ou \(\sum_y p_{X,Y}(x,y)\) (discreta).
MulticonjuntoCombinatória
Coleção onde elementos podem se repetir; conta-se com combinações com repetição.
Número de multisubconjuntos de tamanho \(k\) de \(n\) tipos: \(\binom{n+k-1}{k}\).
Média de uma FunçãoCálculo
Valor médio de \(f\) em \([a,b]\).
\(\displaystyle \bar f=\frac{1}{b-a}\int_{a}^{b} f(x)\,dx\).
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