📘 Dicionário de Matemática — Letra R
Verbete por verbete, com destaque para termo, definição e fórmulas: de radiano, raiz e razão a regressão, rotacional, relações, Riemann, RREF e raios do triângulo.
Como usar
Role e consulte os verbetes. Cada bloco traz o termo (chip azul), a definição (faixa verde) e a fórmula/exemplo (faixa roxa) quando pertinente.
RadianoMedidas
Unidade natural de ângulo: arco igual ao raio sobre a circunferência.
Conversão: \(1\,\text{rad}=\dfrac{180}{\pi}^\circ\);\; \(1^\circ=\dfrac{\pi}{180}\,\text{rad}\).
Raiz QuadradaAritmética / Álgebra
Número \(r\ge0\) tal que \(r^2=a\) para \(a\ge0\).
\(\sqrt{ab}=\sqrt a\,\sqrt b\) (para \(a,b\ge0\)); \(\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt a}{\sqrt b}\) (\(b>0\)).
Raiz \(n\)-ésimaAritmética
Número \(r\) tal que \(r^n=a\); se \(n\) é par e \(a\ge0\), toma-se a principal \(r\ge0\).
\(\sqrt[n]{a^m}=a^{m/n}\) (com restrições usuais de domínio).
Raiz de PolinômioÁlgebra
Número \(r\) tal que \(p(r)=0\).
Teorema Fundamental da Álgebra: todo polinômio não constante tem \(n\) raízes (contando multiplicidades) em \(\mathbb{C}\).
RazãoAritmética
Comparação entre grandezas do mesmo tipo por divisão.
\(\dfrac{a}{b}=k \iff a=kb\) (\(b\neq 0\)); em PG, a razão é \(q=\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\).
Regra de TrêsAritmética
Método para resolver proporções diretas ou inversas.
Direta: \(\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{x}\Rightarrow x=\dfrac{bc}{a}\);\; inversa: \(\dfrac{a}{b}=\dfrac{x}{c}\Rightarrow x=\dfrac{ac}{b}\).
Regra da CadeiaCálculo
Derivada de função composta.
\((f\circ g)'(x)=f'(g(x))\cdot g'(x)\);\; multivariável: \(\nabla(f\circ g)=J_g^\top\nabla f\big|_{g}\).
Regra de CramerÁlgebra Linear
Resolve \(A\mathbf{x}=\mathbf{b}\) com \(A\) quadrada e \(\det A\neq0\) via determinantes.
\(x_i=\dfrac{\det A_i}{\det A}\), onde \(A_i\) é \(A\) com a coluna \(i\) trocada por \(\mathbf{b}\).
Regra de SarrusÁlgebra Linear
Atalho para calcular determinante \(3\times3\).
\(\det A=a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32}-\) (as três diagonais secundárias).
Regressão LinearEstatística
Modelo \(y=\beta_0+\beta_1 x+\varepsilon\) estimado por mínimos quadrados.
\(\hat\beta=(X^\top X)^{-1}X^\top y\);\; \(R^2=1-\dfrac{\text{SQRes}}{\text{SQT}}\).
Regressão LogísticaEstatística / ML
Modelo para resposta binária com link logit.
\(\mathbb{P}(Y=1\mid x)=\sigma(\beta_0+\beta^\top x)=\dfrac{1}{1+e^{-(\beta_0+\beta^\top x)}}\).
Resto (Divisão Euclidiana)Aritmética
Em \(a=bq+r\), o número \(r\) com \(0\le r<|b|\).
\(r=a-b\left\lfloor \dfrac{a}{b}\right\rfloor\).
Teorema do Resto (Polinômios)Álgebra
O resto de dividir \(p(x)\) por \(x-a\) é \(p(a)\).
Briot–Ruffini implementa a divisão sintética eficiente.
Racionalização de DenominadoresÁlgebra
Eliminar radicais do denominador por multiplicação por conjugado.
\(\dfrac{1}{\sqrt a+\sqrt b}\cdot\dfrac{\sqrt a-\sqrt b}{\sqrt a-\sqrt b}=\dfrac{\sqrt a-\sqrt b}{a-b}\).
RotacionalCálculo Vetorial
Mede a tendência de “rodar” de um campo vetorial em \(\mathbb{R}^3\).
\(\nabla\times \vec F=\begin{vmatrix}\mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k}\\ \partial_x&\partial_y&\partial_z\\ F_x&F_y&F_z\end{vmatrix}\).
RotaçãoGeometria / Álgebra Linear
Isometria que gira pontos em torno de um centro/eixo.
2D: \(R_\theta=\begin{bmatrix}\cos\theta&-\sin\theta\\ \sin\theta&\cos\theta\end{bmatrix}\);\; 3D eixos \(x,y,z\) análogos.
ReflexãoGeometria / Álgebra Linear
Isometria que espelha pontos em relação a uma reta/plano.
Em 2D por reta unitária \(u\): \(H=I-2uu^\top\).
RetaGeometria Analítica
Conjunto de pontos colineares no plano/espaço.
Equações: \(y=mx+b\); geral \(Ax+By+C=0\);\; paramétrica \(r(t)=p+tv\).
Retas Paralelas e PerpendicularesGeometria Analítica
Paralelas têm mesma inclinação; perpendiculares têm produto das inclinações \(=-1\) (no plano cartesiano).
Se \(y=m_1x+b_1\) e \(y=m_2x+b_2\): paralelas \(m_1=m_2\); perpendiculares \(m_1m_2=-1\).
RetânguloGeometria
Quadrilátero com quatro ângulos retos; é um paralelogramo.
Área \(A=ab\); diagonal \(d=\sqrt{a^2+b^2}\).
RelaçãoConjuntos / Lógica
Subconjunto \(R\subseteq A\times B\) que relaciona elementos de \(A\) com \(B\).
Propriedades (em \(A\times A\)): reflexiva, simétrica, antissimétrica, transitiva.
Relação de EquivalênciaConjuntos
Reflexiva, simétrica e transitiva; particiona o conjunto em classes de equivalência.
Classe de \(a\): \([a]=\{x\in A:(x,a)\in R\}\).
Relação de OrdemConjuntos
Reflexiva, antissimétrica e transitiva (parcial); se todo par é comparável, é total.
Ex.: \((\mathbb{N},\le)\) é ordem total; \((\mathcal{P}(X),\subseteq)\) é parcial.
Relação de Recorrência LinearSucessões / Combinatória
Define \(a_n\) a partir de termos anteriores.
Homogênea com coef. const.: \(a_n=c_1a_{n-1}+\cdots+c_k a_{n-k}\); solução via equação característica.
Resíduo (Análise Complexa)Análise Complexa
Coeficiente de \((z-z_0)^{-1}\) na série de Laurent de \(f\) em \(z_0\).
Teorema dos Resíduos: \(\displaystyle \oint_\gamma f(z)\,dz=2\pi i\sum \operatorname{Res}(f;z_k)\).
Resíduo Módulo \(m\)Teoria dos Números
Classe residual de um inteiro \(a\) em \(\mathbb{Z}_m\).
\(a\equiv b\pmod m \iff m\mid (a-b)\);\; representantes \(0,1,\dots,m-1\).
Integral de RiemannAnálise
Limite de somas de Riemann se existir, para funções limitadas em \([a,b]\).
\(\displaystyle \int_a^b f=\lim_{\|\mathcal{P}\|\to0}\sum f(\xi_i)\,\Delta x_i\).
Soma de RiemannAnálise
Aproxima a integral por amostras por subintervalo.
\(\displaystyle S=\sum_{i=1}^n f(\xi_i)(x_i-x_{i-1})\), com \(\xi_i\in[x_{i-1},x_i]\).
Raio de ConvergênciaSéries de Potências
Maior \(R\) tal que \(\sum a_n(x-x_0)^n\) converge para \(|x-x_0|<R\).
Teste da razão: \(R=\dfrac{1}{\limsup |a_{n+1}/a_n|}\); teste da raiz: \(R=\dfrac{1}{\limsup \sqrt[n]{|a_n|}}\).
RREF (Forma Escalonada Reduzida)Álgebra Linear
Forma de matriz com pivôs 1 e zeros acima/abaixo, única para cada matriz.
Obtida por operações elementares de linha; útil para resolver sistemas e calcular posto.
Rank (Posto)Álgebra Linear
Dimensão da imagem de uma transformação/matriz (nº de pivôs).
Teorema posto–nulidade: \(\operatorname{rank}(A)+\operatorname{null}(A)=n\) para \(A\in\mathbb{R}^{m\times n}\).
Raio (Circunferência)Geometria
Distância do centro a qualquer ponto da circunferência.
Perímetro: \(2\pi r\);\; área: \(\pi r^2\).
Raio Inscrito (\(r\))Geometria do Triângulo
Raio do círculo inscrito no triângulo.
Com semiperímetro \(s\) e área \(A\): \(A=rs\).
Raio Circunscrito (\(R\))Geometria do Triângulo
Raio do círculo circunscrito ao triângulo.
\(A=\dfrac{abc}{4R}\);\; também \(a=2R\sin A\) etc.
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