📘 Dicionário de Matemática — Letra V
Verbete por verbete, com destaque para termo, definição e fórmulas: de valor absoluto, variável aleatória e variância a vetores, valores/vetores próprios, variedades, vizinhanças, volumes, Viète e Vandermonde.
Como usar
Cada bloco traz o termo (chip azul), a definição (faixa verde) e uma fórmula/exemplo (faixa roxa) quando aplicável.
Valor AbsolutoAritmética / Análise
Distância de \(x\) até \(0\) na reta real.
\(|x|=\sqrt{x^2}=\begin{cases}x,&x\ge 0\\-x,&x<0\end{cases}\);\; \(|xy|=|x||y|\), \(|x+y|\le |x|+|y|\).
Valor Esperado (Esperança)Probabilidade
Média teórica de uma variável aleatória.
Discreta: \(\mathbb{E}[X]=\sum_x x\,p_X(x)\);\; Contínua: \(\mathbb{E}[X]=\int_{-\infty}^{\infty} x f_X(x)\,dx\). Linearidade: \(\mathbb{E}[aX+b]=a\mathbb{E}[X]+b\).
Variável AleatóriaProbabilidade
Função que associa números a resultados aleatórios; pode ser discreta ou contínua.
Discreta: pmf \(p_X\); Contínua: pdf \(f_X\); CDF \(F_X(x)=\mathbb{P}(X\le x)\).
VariânciaProbabilidade / Estatística
Dispersão média em torno da média.
\(\operatorname{Var}(X)=\mathbb{E}[(X-\mu)^2]=\mathbb{E}[X^2]-\mu^2\);\; \(\operatorname{Var}(aX+b)=a^2\operatorname{Var}(X)\).
Desvio PadrãoEstatística
Raiz quadrada da variância; mesma unidade de \(X\).
\(\sigma=\sqrt{\operatorname{Var}(X)}\).
Variância AmostralEstatística
Estimativa não-viesada da variância populacional (correção de Bessel).
\(s^2=\dfrac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar x)^2\).
Lei da Variância TotalProbabilidade
Decompõe a variância via condicionamento.
\(\operatorname{Var}(X)=\mathbb{E}\!\big[\operatorname{Var}(X\mid Y)\big]+\operatorname{Var}\!\big(\mathbb{E}[X\mid Y]\big)\).
VetorÁlgebra Linear / Geometria
Objeto com magnitude e direção; em \(\mathbb{R}^n\), é um ponto/coluna.
Norma euclidiana: \(\|\mathbf{x}\|_2=\sqrt{\sum_i x_i^2}\);\; produto escalar \(\langle x,y\rangle=\sum_i x_i y_i\).
Vetores Linearmente IndependentesÁlgebra Linear
Nenhum é combinação linear dos demais.
\(\{v_i\}\) independentes \(\iff \sum_i \alpha_i v_i=0 \Rightarrow \alpha_i=0\ \forall i\).
Valor Próprio (Autovalor)Álgebra Linear
\(\lambda\) tal que existe \(v\neq0\) com \(Av=\lambda v\).
Polinômio característico: \(p_A(\lambda)=\det(\lambda I-A)\); raízes são autovalores.
Vetor Próprio (Autovetor)Álgebra Linear
Vetor não nulo associado a um autovalor \(\lambda\): \(Av=\lambda v\).
Autoespaço de \(\lambda\): \(E_\lambda=\ker(A-\lambda I)\); diagonalização se soma das dimensões dos autoespaços = \(n\).
Variedade (Manifold)Topologia / Geometria
Espaço que localmente parece \(\mathbb{R}^n\); pode ter estrutura diferenciável/riemanniana.
Ex.: esfera \(S^2\) é 2-variedade; atlas de cartas \((U_i,\varphi_i)\) com transições suaves.
VizinhançaTopologia
Conjunto que contém um aberto em torno do ponto.
Em espaço métrico: bola aberta \(B_r(x)=\{y:d(x,y)<r\}\) é vizinhança de \(x\).
VérticeGeometria / Grafos
Ponto extremo de um polígono; em grafos, nó conectado por arestas.
Lema do aperto de mãos: \(\sum_{v\in V}\deg(v)=2|E|\).
VolumeGeometria
Medida tridimensional de ocupação de espaço.
Caixa: \(V=abc\);\; cilindro: \(V=\pi r^2 h\);\; esfera: \(V=\tfrac{4}{3}\pi r^3\).
Volume de Revolução (Discos/Anéis)Cálculo
Gera sólido ao girar região em torno de um eixo, integrando áreas de seções transversais.
Eixo \(x\): \(V=\pi\int_{a}^{b}\big(R(x)^2-r(x)^2\big)\,dx\) (arruelas).
Volume por Cascas CilíndricasCálculo
Método alternativo usando cascas concêntricas.
Em torno do eixo \(y\): \(V=2\pi\int_{a}^{b} x\,h(x)\,dx\), onde \(h(x)\) é a altura da casca.
Viète (Fórmulas de Viète)Álgebra
Relacionam coeficientes do polinômio com somas/produtos das raízes.
Para \(ax^2+bx+c=0\) com raízes \(r_1,r_2\): \(r_1+r_2=-\dfrac{b}{a}\), \(r_1r_2=\dfrac{c}{a}\). Generaliza para graus maiores com sinais alternados.
Vandermonde (Matriz)Álgebra Linear
Matriz com potências de pontos, usada em interpolação.
\(V_{ij}=x_i^{\,j-1}\);\; \(\det V=\prod_{1\le i<j\le n}(x_j-x_i)\) (não singular se \(x_i\) distintos).
Viés (Bias)Estatística
Diferença entre valor esperado do estimador e o parâmetro verdadeiro.
\(\operatorname{Bias}(\hat\theta)=\mathbb{E}[\hat\theta]-\theta\).
Viés–Variância (Decomposição)Estatística / ML
Erro quadrático médio separa-se em viés, variância e ruído irreducível.
\(\mathbb{E}[(\hat f(x)-f(x))^2]=\operatorname{Bias}^2+\operatorname{Var}+\sigma^2\) (para modelo com ruído \(\sigma^2\)).
Variável IndicadoraProbabilidade
\(I_A=1\) se evento \(A\) ocorre, \(0\) caso contrário.
\(\mathbb{E}[I_A]=\mathbb{P}(A)\);\; \(\operatorname{Var}(I_A)=p(1-p)\) com \(p=\mathbb{P}(A)\).
Valor SingularÁlgebra Linear / Numérico
Raiz quadrada dos autovalores de \(A^\top A\) (ou \(AA^\top\)); surgem na SVD.
Se \(A=U\Sigma V^\top\), então \(\Sigma=\operatorname{diag}(\sigma_1\ge\cdots\ge\sigma_r>0)\); \(\sigma_i=\sqrt{\lambda_i(A^\top A)}\).
Vínculo (Restrição)Otimização
Condição de igualdade/inequação imposta às variáveis.
KKT (min \(f\) s.a. \(g_i(x)\le0\), \(h_j(x)=0\)): estacionaridade \(\nabla f+\sum \mu_i\nabla g_i+\sum \lambda_j\nabla h_j=0\); viabilidade primal \(g_i\le0, h_j=0\); dual \(\mu_i\ge0\); complementaridade \(\mu_i g_i=0\).
Variação Total (Função de BV)Análise
Soma suprema das variações sobre todas as partições; funções de variação limitada têm integral de Riemann–Stieltjes bem comportada.
\(\operatorname{Var}_{[a,b]}(f)=\sup_{\mathcal{P}}\sum_{i}|f(x_i)-f(x_{i-1})|\).
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