📘 Dicionário de Matemática — Letra T
Verbete por verbete, com destaque para termo, definição e fórmulas: de tangente, Taylor e transformada de Fourier a Teorema Fundamental do Cálculo, Tales, TVM, TCL, t de Student, topologia, transposta e traço.
Como usar
Role e consulte os verbetes. Cada bloco traz o termo (chip azul), a definição (faixa verde) e a fórmula/exemplo (faixa roxa) quando pertinente.
TangenteTrigonometria
Razão entre seno e cosseno; inclinação da reta tangente em \(y=\sin x/\cos x\).
\(\tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}\);\; identidade: \(\tan^2x+1=\sec^2x\);\; derivada: \((\tan x)’=\sec^2 x\).
Teorema Fundamental do Cálculo (TFC)Cálculo
Conecta derivação e integração: antiderivada calcula integrais definidas.
\(\displaystyle \int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a)\) se \(F’=f\); e \(\dfrac{d}{dx}\int_a^x f(t)\,dt=f(x)\).
Teorema do Valor Médio (TVM)Cálculo
Há um ponto onde a derivada iguala a taxa média.
Se \(f\) contínua em \([a,b]\) e diferenciável em \((a,b)\), \(\exists c\) com \(f'(c)=\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}\).
Série/Polinômio de TaylorSéries / Cálculo
Expansão de \(f\) em potências ao redor de \(a\) usando derivadas.
\(f(x)=\sum_{n=0}^\infty \dfrac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n\); resto de Lagrange: \(R_{n+1}=\dfrac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}\).
Teorema de TalesGeometria
Retas paralelas determinam segmentos proporcionais em transversais.
\(\dfrac{A B}{A’C’}=\dfrac{A D}{A’E’}=\dfrac{B D}{C’E’}\) em triângulos/polígonos com paralelas correspondentes.
Triângulo (Área e Classificações)Geometria
Polígono de três lados (equilátero, isósceles, escaleno; acutângulo, retângulo, obtusângulo).
Áreas: \(A=\frac{bh}{2}\); Heron: \(A=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\), \(s=\frac{a+b+c}{2}\).
Desigualdade TriangularAnálise / Geometria
Comprimento da soma não excede a soma dos comprimentos.
\(\|x+y\|\le \|x\|+\|y\|\);\; em \(\mathbb{R}^n\) com norma euclidiana decorre de Cauchy–Schwarz.
Transformada de Fourier (TF)Sinais / Análise
Decompõe um sinal em frequências; par de transformadas liga tempo e frequência.
Contínua: \(\mathcal{F}\{f\}(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty} f(t)\,e^{-i\omega t}\,dt\);\; Inversa: \(f(t)=\dfrac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\hat f(\omega)e^{i\omega t}d\omega\).
Transformada Discreta de Fourier (DFT)Numérico / Sinais
Versão discreta usada em computação (FFT calcula a DFT eficientemente).
\(\displaystyle X_k=\sum_{n=0}^{N-1} x_n\,e^{-i2\pi kn/N}\), \(k=0,\dots,N-1\).
TopologiaTopologia
Coleção de abertos em \(X\) que define continuidade e vizinhança.
Condições: \(\varnothing,X\) abertos; união arbitrária e interseção finita de abertos são abertas.
Topologia ProdutoTopologia
Topologia mais “fraca” que torna projeções contínuas em \(X\times Y\).
Base: \(U\times V\) com \(U\) aberto em \(X\) e \(V\) aberto em \(Y\).
Transposta (Matriz)Álgebra Linear
Matriz \(A^\top\) obtida trocando linhas por colunas.
\((AB)^\top=B^\top A^\top\);\; \((A^\top)^\top=A\);\; \(x^\top Ay=\langle Ax,y\rangle\) (produto interno padrão).
Traço (trace)Álgebra Linear
Soma dos elementos da diagonal principal.
\(\operatorname{tr}(A)=\sum_i a_{ii}\);\; \(\operatorname{tr}(AB)=\operatorname{tr}(BA)\).
TensorÁlgebra Multilinear
Objeto multilinear que generaliza escalares, vetores e matrizes a ordens maiores.
Produto externo: \((u\otimes v)_{ij}=u_i v_j\);\; contração reduz índices somando.
Transformação LinearÁlgebra Linear
Mapa \(T\) que preserva somas e escalares.
\(T(\alpha u+\beta v)=\alpha T(u)+\beta T(v)\); representada por matriz em bases escolhidas.
Transformação AfimGeometria Analítica
Composição de linear com translação; preserva paralelismo e razão de segmentos colineares.
\(x\mapsto Ax+b\);\; se \(A\) é ortogonal, é isometria composta com translação.
TranslaçãoGeometria
Desloca todos os pontos por um vetor fixo.
\(T_v(x)=x+v\);\; distância e orientações preservadas.
Distribuição t de StudentEstatística
Distribuição simétrica usada com variância populacional desconhecida.
PDF: \(\displaystyle f(t)=\frac{\Gamma\left(\frac{\nu+1}{2}\right)}{\sqrt{\nu\pi}\,\Gamma\left(\frac{\nu}{2}\right)}\left(1+\frac{t^2}{\nu}\right)^{-\frac{\nu+1}{2}}\), g.l. \(\nu\).
Teste t (uma/duas amostras, pareado)Estatística
Compara média(s) quando \(\sigma\) é desconhecido, assumindo normalidade (ou \(n\) grande).
Uma amostra: \(t=\dfrac{\bar x-\mu_0}{s/\sqrt{n}}\), g.l. \(=n-1\);\; duas amostras (variâncias iguais): \(t=\dfrac{\bar x_1-\bar x_2}{s_p\sqrt{1/n_1+1/n_2}}\).
Teorema Central do Limite (TCL)Probabilidade
A soma (ou média) de i.i.d. com variância finita tende à normal quando \(n\) cresce.
\(\displaystyle \frac{\bar X_n-\mu}{\sigma/\sqrt{n}} \xrightarrow{d} \mathcal{N}(0,1)\).
Regra do TrapézioCálculo Numérico
Aproxima integrais por segmentos de reta entre pontos adjacentes.
\(\displaystyle \int_a^b f(x)\,dx\approx \frac{b-a}{2}\big[f(a)+f(b)\big]\); composta usa partição uniforme.
Série TelescópicaSéries
Série em que termos cancelam parcialmente, restando poucos termos.
Ex.: \(\sum_{n=1}^N \left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)=1-\frac{1}{N+1}\to1\).
Número TranscendenteTeoria dos Números
Não é raiz de nenhum polinômio não nulo com coeficientes inteiros.
Exemplos: \(\pi\), \(e\); números algébricos são o complemento em \(\mathbb{C}\).
Triângulo Retângulo (Razões Trig.)Trigonometria
Triângulo com um ângulo de \(90^\circ\); define sen, cos, tan.
\(\sin\theta=\dfrac{\text{oposto}}{\text{hip}}\), \(\cos\theta=\dfrac{\text{adj}}{\text{hip}}\), \(\tan\theta=\dfrac{\text{oposto}}{\text{adj}}\).
Transformada de CoordenadasCálculo Multivariável
Mudança de variáveis em integrais; fator de escala é o Jacobiano.
\(\displaystyle \iiint_R f(x)\,dV=\iiint_{R’} f(\phi(u))\,|\det J_\phi(u)|\,du\).
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