Ângulos Congruentes
Dois ângulos são congruentes quando possuem a mesma medida, ainda que estejam em posições distintas ou com orientações diferentes na figura. Este conceito aparece em paralelas cortadas por transversal, triângulos semelhantes e polígonos regulares.
Definição
- A congruência é uma relação de equivalência: é reflexiva, simétrica e transitiva.
- Marcas de arco iguais em um desenho indicam ângulos congruentes.
- Em polígonos regulares, todos os ângulos internos são congruentes entre si.
Propriedades e fatos úteis
- Se \( \angle A \cong \angle B \) e \( \angle B \cong \angle C \), então \( \angle A \cong \angle C \) (transitividade).
- Ângulos opostos pelo vértice são sempre congruentes.
- Em paralelas cortadas por transversal, ângulos correspondentes e alternos internos são congruentes.
- Em triângulos semelhantes, os ângulos correspondentes são congruentes.
Como verificar a congruência
| Método | Ideia | Exemplo |
|---|---|---|
| Medição | Medir com transferidor e comparar valores. | \(42^\circ\) e \(42^\circ\) → congruentes. |
| Teoremas | Usar propriedades (opostos pelo vértice, paralelas, semelhança). | Alternos internos em paralelas → congruentes. |
| Transformações rígidas | Transladar/rotacionar o ângulo sem deformar. | Se coincidem após mover/rotacionar, são congruentes. |
Exemplos resolvidos
Exemplo 1 — Paralelas: Mostre que ângulos correspondentes são congruentes.
Quando duas retas paralelas são cortadas por uma transversal, os ângulos correspondentes possuem a mesma abertura; logo, suas medidas são iguais e são congruentes.
Exemplo 2 — Triângulo isósceles: Se \(AB=AC\), prove que \( \widehat{B} \cong \widehat{C} \).
Num isósceles, os ângulos da base são iguais. Assim, \( m\widehat{B} = m\widehat{C} \Rightarrow \widehat{B} \cong \widehat{C} \).
Exemplo 3 — Opostos pelo vértice: Mostre que são congruentes.
Retas secantes produzem pares de ângulos opostos pelo vértice com medidas iguais; portanto, são congruentes.
📘 Exercícios de múltipla escolha — com gabarito
1) Se \( m\angle x = 58^\circ \) e \( m\angle y = 58^\circ \), então:
- São suplementares.
- \( \angle x \cong \angle y \).
- São complementares.
- Não há relação definida.
Ver solução
Medidas iguais ⇒ ângulos congruentes.
2) Em duas retas paralelas cortadas por uma transversal, quais pares são necessariamente congruentes?
- Colaterais internos.
- Correspondentes e alternos internos.
- Adjacentes quaisquer.
- Colaterais externos.
Ver solução
Correspondentes e alternos internos têm mesma medida em paralelas.
3) Num triângulo isósceles \(AB=AC\). Conclui-se que:
- \( \widehat{A} \cong \widehat{B} \)
- \( \widehat{A} \cong \widehat{C} \)
- \( \widehat{B} \cong \widehat{C} \)
- Nenhuma das anteriores
Ver solução
Ângulos da base de isósceles são congruentes.
4) Se \( \angle u \) e \( \angle v \) são opostos pelo vértice, então:
- São suplementares.
- Somam \(90^\circ\).
- São congruentes.
- Não têm relação.
Ver solução
Opostos pelo vértice têm mesma medida.
5) Se \( \triangle ABC \sim \triangle A’B’C’ \), então:
- \( \widehat{A} \) é suplementar de \( \widehat{A’} \)
- \( \widehat{A} \cong \widehat{A’} \), \( \widehat{B} \cong \widehat{B’} \), \( \widehat{C} \cong \widehat{C’} \)
- Todos os ângulos são retos
- Não há relação entre ângulos
Ver solução
Semelhança preserva ângulos: correspondentes são congruentes.
6) Em paralelas \(r \parallel s\), a transversal forma \( \angle 1 = 32^\circ \). O alterno interno correspondente \( \angle 2 \) mede:
- 148°
- 90°
- 32°
- 58°
Ver solução
Alternos internos em paralelas são congruentes ⇒ \(32^\circ\).
Links úteis
📚 Continue seus estudos
Dica pedagógica: combine congruência com problemas de paralelas e semelhança para treinar dedução de medidas sem usar transferidor.
