Área da Esfera

A esfera é um dos principais corpos redondos. Todos os pontos da sua superfície estão à mesma distância do centro; essa distância é o raio \(r\). Para revisar conceitos, propriedades e o volume, veja: Esfera e Exercício Esfera. Compare também com sólidos como Cubo e Paralelepípedo.

Fórmula principal

• \(A\): área da superfície (unidades quadradas, como cm² ou m²);
• \(\pi \approx 3{,}14159\);
• \(r\): raio da esfera.

Variações úteis

• Em função do diâmetro \(d=2r\): \(A=\pi d^{2}\)
• Isolando o raio a partir da área: \( \displaystyle r=\sqrt{\frac{A}{4\pi}} \)
• Escala: se o raio é multiplicado por \(k\), a área multiplica por \(k^{2}\) (crescimento quadrático).

Relação com o volume

Para a esfera, a derivada do volume em relação ao raio é igual à área da superfície: \( \displaystyle \frac{d}{dr}\!\left(\frac{4}{3}\pi r^{3}\right) = 4\pi r^{2}=A \). Essa identidade conecta exercícios de volume e de área.

Erros comuns

• Usar \(r^{3}\) (volume) em vez de \(r^{2}\) (área).
• Confundir diâmetro com raio (lembre: \(r=\dfrac{d}{2}\)).
• Responder em unidades cúbicas por engano—área é sempre em unidades quadradas.

Exemplos resolvidos

Exemplo 1. Calcule a área de uma esfera de raio \(r=7\text{ cm}\).

Exemplo 2. Uma esfera tem área \(A=144\pi\ \text{cm}^{2}\). Qual é o raio?

Exemplo 3. Uma esfera está inscrita em um cubo de aresta \(12\ \text{cm}\). Determine a área da esfera.

Exercícios (múltipla escolha)

1) Calcule a área de uma esfera de raio \(4\ \text{cm}\).

1. \(32\pi\ \text{cm}^{2}\)
2. \(48\pi\ \text{cm}^{2}\)
3. \(64\pi\ \text{cm}^{2}\)
4. \(96\pi\ \text{cm}^{2}\)

2) Uma esfera tem diâmetro \(20\ \text{cm}\). Qual é sua área?

1. \(200\pi\ \text{cm}^{2}\)
2. \(300\pi\ \text{cm}^{2}\)
3. \(350\pi\ \text{cm}^{2}\)
4. \(400\pi\ \text{cm}^{2}\)

3) Se \(A=324\pi\ \text{cm}^{2}\), então o raio vale:

1. \(7\ \text{cm}\)
2. \(8\ \text{cm}\)
3. \(9\ \text{cm}\)
4. \(10\ \text{cm}\)

4) Uma esfera metálica tem raio \(0{,}75\ \text{m}\). Qual é a área aproximada em m²?

1. \(4{,}50\ \text{m}^{2}\)
2. \(7{,}07\ \text{m}^{2}\)
3. \(9{,}42\ \text{m}^{2}\)
4. \(12{,}57\ \text{m}^{2}\)

5) O raio de uma esfera aumentou \(15\%\). O aumento percentual da área é, aproximadamente:

1. \(15\%\)
2. \(30\%\)
3. \(32{,}25\%\)
4. \(45\%\)

Materiais relacionados

Continue estudando com nossos conteúdos internos:

• Esfera — definição, elementos e propriedades.
• Exercício Esfera — listas com respostas e passo a passo.
• Corpos redondos — visão geral com comparações.
• Cubo e Paralelepípedo — para contrastar fórmulas e unidades.

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