Áreas de Regiões Triangulares — Fórmulas, Exemplos e Exercícios
O cálculo da área do triângulo é um dos temas mais pesquisados em Matemática. Há diversas formas de encontrá-la — desde a fórmula clássica da base e altura até métodos mais avançados como a Fórmula de Heron e as expressões envolvendo o raio da circunferência inscrita e a circunferência circunscrita.
Neste artigo completo do Matemática Hoje, você vai descobrir todas as fórmulas usadas para calcular a área de triângulos, aprender como aplicá-las passo a passo e resolver exercícios práticos que aparecem em provas de Matemática no ENEM e em concursos públicos.
1. Fórmula Base — Base e Altura
Essa é a fórmula mais conhecida e prática para calcular a área de qualquer triângulo, desde que se conheça a medida da base e da altura correspondente.
Calcule a área.
\( A = \frac{12 \cdot 8}{2} \)
= \( \frac{96}{2} \)
= 48 cm²
2. Fórmula de Heron — Usando os Três Lados
Quando as medidas da base e da altura não são conhecidas, é possível calcular a área usando apenas os três lados \( a \), \( b \) e \( c \). Para isso, utiliza-se o semiperímetro \( p = \frac{a+b+c}{2} \).
\( p = \frac{5 + 6 + 7}{2} = 9 \)
\( A = \sqrt{9(9-5)(9-6)(9-7)} \)
= \( \sqrt{9 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2} \)
= \( \sqrt{216} \)
= 14,7 cm² (aproximadamente)
3. Triângulo Equilátero
Quando os três lados do triângulo são iguais, a área pode ser calculada com uma fórmula simplificada.
\( A = \frac{10^2 \sqrt{3}}{4} \)
= \( \frac{100 \sqrt{3}}{4} \)
= 25√3 cm²
(aproximadamente 43,3 cm²)
4. Raio da Circunferência Inscrita (Inrário)
Em alguns problemas geométricos, a área também pode ser calculada conhecendo o raio da circunferência inscrita \( r \) e o semiperímetro \( p \).
\( A = 12 \cdot 3 \)
= 36 cm²
5. Fórmula Trigonométrica
Quando se conhece dois lados e o ângulo entre eles, a fórmula trigonométrica é ideal para encontrar a área.
\( A = \frac{10 \cdot 8 \cdot \sin(60°)}{2} \)
= \( 40 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \)
= 20√3 cm²
(aproximadamente 34,6 cm²)
6. Raio da Circunferência Circunscrita
Quando o triângulo está inscrito em uma circunferência de raio \( R \), a área é calculada pela fórmula:
\( A = \frac{7 \cdot 8 \cdot 9}{4 \cdot 5} \)
= \( \frac{504}{20} \)
= 25,2 cm²
7. Exercícios para Praticar
Experimente resolver os desafios abaixo:
- Calcule a área de um triângulo com base 15 cm e altura 10 cm.
- Encontre a área de um triângulo equilátero de lado 12 cm.
- Determine a área de um triângulo com lados 5 cm, 6 cm e 8 cm (use a Fórmula de Heron).
Depois, confira as respostas no Banco de Questões de Matemática — centenas de exercícios resolvidos por tema.
Conclusão
Com essas seis fórmulas, é possível resolver qualquer problema que envolva área de triângulos — sejam equiláteros, isósceles ou escalenos. Dominar esses métodos é essencial para ir bem em provas de Matemática do ENEM e em exames de vestibulares e concursos.
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