Classificação da Progressão Geométrica (P.G.)

Numa Progressão Geométrica com primeiro termo \(a_1\) e razão \(q\), a natureza da sequência (crescente, decrescente, alternante, constante ou singular) depende dos sinais de \(a_1\) e \(q\). A tabela abaixo resume as condições e logo depois trazemos exemplos e exercícios.

Regras de Classificação (com justificativas)

1) P.G. Crescente

Condições equivalentes: \(a_1>0\) e \(q>1\) ou \(a_1<0\) e \(0

Ideia: multiplicar por \(q>1\) aumenta o módulo; multiplicar por \(00\), \(q>1\) leva os termos para cima; para \(a_1<0\), \(0

2) P.G. Decrescente

Condições equivalentes: \(a_1>0\) e \(0ou \(a_1<0\) e \(q>1\).

Ideia: com \(a_1>0\) e \(01\), o módulo aumenta e os termos ficam mais negativos.

3) P.G. Alternante

Condição: \(q<0\). Os termos alternam de sinal (positivo/negativo) porque cada passo multiplica por um número negativo.

4) P.G. Constante

Condição: \(q=1\). Todos os termos são iguais a \(a_1\).

5) P.G. Singular

Condição: \(a_1=0\) ou \(q=0\). Em ambos os casos, a sequência zera a partir de algum ponto.

Exemplos por tipo

Crescente

\(a_1=2\), \(q=1{,}5\) ⇒ \(2,\,3,\,4{,}5,\,6{,}75,\dots\) (cresce).
\(a_1=-8\), \(q=\tfrac12\) ⇒ \(-8,\,-4,\,-2,\,-1,\dots\) (sobe rumo a 0).

Decrescente

\(a_1=10\), \(q=\tfrac13\) ⇒ \(10,\,\tfrac{10}{3},\,\tfrac{10}{9},\,\dots\) (desce).
\(a_1=-3\), \(q=2\) ⇒ \(-3,\,-6,\,-12,\,-24,\dots\) (cada vez mais negativo).

Alternante

\(a_1=5\), \(q=-2\) ⇒ \(5,\,-10,\,20,\,-40,\,80,\dots\).

Constante

\(a_1=7\), \(q=1\) ⇒ \(7,\,7,\,7,\,\dots\).

Singular

\(a_1=0\), \(q\in\mathbb{R}\) ⇒ \(0,\,0,\,0,\dots\).
\(a_1\neq0\), \(q=0\) ⇒ \(a_1,\,0,\,0,\,0,\dots\).

Exercícios (com múltipla escolha) — soluções em abre/fecha

Exercício 1

Dada a P.G. com \(a_1=4\) e \(q=\tfrac12\), a sequência é:

• A) Crescente
• B) Decrescente
• C) Alternante
• D) Constante

Exercício 2

Se \(a_1=-6\) e \(q=\tfrac13\), classifique a P.G.

• A) Crescente
• B) Decrescente
• C) Alternante
• D) Singular

Exercício 3

Para \(a_1=3\) e \(q=-\tfrac{1}{2}\), a P.G. é:

• A) Crescente
• B) Decrescente
• C) Alternante
• D) Constante

Exercício 4

(Conceitual) Qual opção torna a P.G. constante?

• A) \(a_1=0\)
• B) \(q=0\)
• C) \(q=1\)
• D) \(q=-1\)

Exercício 5

(Aplicação) Uma P.G. tem \(a_1\neq0\) e \(q=0\). Qual é a classificação e como ficam os primeiros termos?

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