Classificação da Progressão Geométrica (P.G.)
Numa Progressão Geométrica com primeiro termo \(a_1\) e razão \(q\), a natureza da sequência (crescente, decrescente, alternante, constante ou singular) depende dos sinais de \(a_1\) e \(q\). A tabela abaixo resume as condições e logo depois trazemos exemplos e exercícios.
Regras de Classificação (com justificativas)
1) P.G. Crescente
Condições equivalentes: \(a_1>0\) e \(q>1\) ou \(a_1<0\) e \(0 Ideia: multiplicar por \(q>1\) aumenta o módulo; multiplicar por \(0 Condições equivalentes: \(a_1>0\) e \(0 Ideia: com \(a_1>0\) e \(0 Condição: \(q<0\). Os termos alternam de sinal (positivo/negativo) porque cada passo multiplica por um número negativo. Condição: \(q=1\). Todos os termos são iguais a \(a_1\). Condição: \(a_1=0\) ou \(q=0\). Em ambos os casos, a sequência zera a partir de algum ponto. \(a_1=2\), \(q=1{,}5\) ⇒ \(2,\,3,\,4{,}5,\,6{,}75,\dots\) (cresce). \(a_1=10\), \(q=\tfrac13\) ⇒ \(10,\,\tfrac{10}{3},\,\tfrac{10}{9},\,\dots\) (desce). \(a_1=5\), \(q=-2\) ⇒ \(5,\,-10,\,20,\,-40,\,80,\dots\). \(a_1=7\), \(q=1\) ⇒ \(7,\,7,\,7,\,\dots\). \(a_1=0\), \(q\in\mathbb{R}\) ⇒ \(0,\,0,\,0,\dots\). Dada a P.G. com \(a_1=4\) e \(q=\tfrac12\), a sequência é: Como \(a_1>0\) e \(0 Resposta: B ✅ Se \(a_1=-6\) e \(q=\tfrac13\), classifique a P.G. Com \(a_1<0\) e \(0 Resposta: A ✅ Para \(a_1=3\) e \(q=-\tfrac{1}{2}\), a P.G. é: Como \(q<0\), os termos trocam de sinal. Logo é alternante. Resposta: C ✅ (Conceitual) Qual opção torna a P.G. constante? Para todos os termos serem iguais ao primeiro, precisamos de \(q=1\). Resposta: C ✅ (Aplicação) Uma P.G. tem \(a_1\neq0\) e \(q=0\). Qual é a classificação e como ficam os primeiros termos? É singular. Ex.: \(a_1,\,0,\,0,\,0,\dots\). Fórmula \(a_n=a_1 q^{n-1}\), exemplos e questões. Fórmula \(S_n=a_1\frac{q^n-1}{q-1}\) (com \(q\neq1\)). Questões comentadas e múltipla escolha. Compare P.A. x P.G. com exemplos.2) P.G. Decrescente
3) P.G. Alternante
4) P.G. Constante
5) P.G. Singular
Exemplos por tipo
Crescente
\(a_1=-8\), \(q=\tfrac12\) ⇒ \(-8,\,-4,\,-2,\,-1,\dots\) (sobe rumo a 0).Decrescente
\(a_1=-3\), \(q=2\) ⇒ \(-3,\,-6,\,-12,\,-24,\dots\) (cada vez mais negativo).Alternante
Constante
Singular
\(a_1\neq0\), \(q=0\) ⇒ \(a_1,\,0,\,0,\,0,\dots\).Exercícios (com múltipla escolha) — soluções em abre/fecha
Exercício 1
Exercício 2
Exercício 3
Exercício 4
Exercício 5
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