Crescimento e decrescimento de funções
Aprenda a reconhecer funções crescentes, decrescentes e constantes no gráfico, na tabela e pela própria lei. Este conteúdo conversa com a série de função afim: Afim: crescente x decrescente Gráfico do 1º grau Como construir o gráfico Taxa de variação Zero da função Estudo do sinal
Definições formais (em intervalos)
Quando as desigualdades são estritas (\(\lt\) e \(\gt\)), usamos “estritamente crescente/decrescente”.
Como identificar no gráfico
- Leia sempre da esquerda para a direita: subiu ⇒ crescente; desceu ⇒ decrescente; manteve ⇒ constante.
- Mudanças de tendência ocorrem em pontos de máximo/mínimo locais (ex.: A, B, C, D, E na figura).
- Para retas \(f(x)=ax+b\): o sinal de \(a\) decide tudo (veja o critério geral).
Como decidir a partir de uma tabela
Ordene os \(x\) e observe a sequência de \(f(x)\). Se aumenta, é crescente; se diminui, decrescente; se repete, constante.
Relação com a taxa de variação
Se \(\Delta y/\Delta x\gt 0\) no intervalo → crescente; \(\lt 0\) → decrescente; \(=0\) → constante. Para a reta, \(\Delta y/\Delta x=a\). Relembre em Δy/Δx.
📘 Precisa revisar fórmulas rapidamente?
Tenha o eBook Fórmulas Matemática com resumos de funções, gráficos, sinais, geometria e muito mais — ideal para ENEM e vestibulares.
Baixar eBook de FórmulasExemplos resolvidos
Exemplo 1 — Leitura do gráfico (A→E). No gráfico da figura, considere \(a\lt b\lt c\lt d\lt e\). a) Indique intervalos de crescimento/decrescimento. b) Classifique A, C e E (máximo/mínimo local ou nenhum).
Ver solução
a) \((a,b)\): decrescente; \((b,c)\): crescente; \((c,d)\): decrescente; \((d,e)\): crescente.
b) A: máx. local; B: mín. local; C: máx. local; D: mín. local; E: máx. local.
Exemplo 2 — Funções afins. Para \(f(x)=3x-2\) e \(g(x)=-1{,}5x+4\): classifique a monotonicidade e informe o zero de cada uma.
Ver solução
\(f\): \(a=3\gt 0\) ⇒ crescente em \(\mathbb{R}\), zero \(x_0=2/3\). \(g\): \(a=-1{,}5\lt 0\) ⇒ decrescente, zero \(x_0\approx 2{,}67\). Zero da função.
Exemplo 3 — Tabela de valores. Dada a tabela, determine a monotonicidade em \([1,5]\).
| \(x\) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|
| \(f(x)\) | 8 | 6 | 4 | 4 | 3 |
Ver solução
1→3: decrescente; 3→4: constante; 4→5: decrescente. No todo, não é monótona.
Erros comuns
- Ler o gráfico da direita para a esquerda (padrão é esquerda → direita).
- Confundir “maior imagem” com “maior crescimento”. Crescimento é sobre variação, não sobre altura.
- Ignorar o intervalo: a mesma função pode crescer num trecho e decrescer em outro.
Exercícios propostos (com gabarito)
1) Classifique a monotonicidade de \(h(x)=\dfrac{1}{2}x-7\) em \(\mathbb{R}\). Ache o zero e explique por que ele não muda a classificação.
Gabarito
Crescente (\(a=1/2\gt 0\)). Zero \(x_0=14\). O zero só indica onde cruza o eixo \(x\); a inclinação continua positiva.
2) Seja \(f(x)=\begin{cases} -2x+6,& 0\le x\le 2\\ x-1,& 2\lt x\le 5 \end{cases}\). Determine intervalos de crescimento/decrescimento.
Gabarito
\([0,2]\): decrescente (\(a=-2\)). \((2,5]\): crescente (\(a=1\)).
3) A tabela mostra a receita \(R\) (R$) ao vender \(q\) unidades a preço constante por unidade. Classifique e diga se pode ser função linear.
| \(q\) | 10 | 15 | 22 | 27 |
|---|---|---|---|---|
| \(R(q)\) | 80 | 120 | 176 | 216 |
Gabarito
Crescente. Como \(R/q\approx 8\) constante, é proporcionalidade direta ⇒ função linear \(R=8q\).
4) O gráfico de \(p(x)\) é uma reta horizontal passando por \(y=-3\). Classifique e diga se tem zero.
Gabarito
Constante (nem cresce nem decresce). Não tem zero. Função constante.
5) Em qual(is) intervalo(s) a função da figura inicial é estritamente crescente? E estritamente decrescente?
Gabarito
Crescente: \((b,c)\) e \((d,e)\). Decrescente: \((a,b)\) e \((c,d)\).
