Cubo (Geometria Espacial): área, volume, diagonal e planificação
Guia direto e vertical sobre cubo na geometria espacial: área do cubo, volume do cubo, diagonal do cubo e planificação, com exemplos e exercícios em sistema abre/fecha.
O que é o cubo?
O cubo (hexaedro regular) é um sólido com 6 faces quadradas, 12 arestas iguais de comprimento a e 8 vértices. É um caso particular do paralelepípedo reto-retângulo com as três dimensões iguais.
Na família dos sólidos de Platão, relacione o cubo com tetraedro e octaedro. Compare também com prisma triangular, pirâmide e esfera.
Relações fundamentais
Diagonal da face (d): d = a√2
Diagonal do cubo (D): D = a√3
Cuidado: a diagonal da face está no quadrado de uma face; a diagonal do cubo liga vértices opostos no espaço.
Fórmulas do cubo (para memorização)
Área total (AT): AT = 6a² [unid. de área, ex.: cm², m²]
Área lateral (AL): AL = 4a² [somente as 4 faces laterais]
Volume (V): V = a³ [unid. de volume, ex.: cm³, m³]
Dica: use AT quando o enunciado disser “pintar todo o cubo” e AL para “somente as paredes laterais”.
Planificação do cubo
A planificação é a rede de 6 quadrados que, ao dobrar, forma o cubo. Ela ajuda a visualizar AT = 6a² e a resolver problemas de recorte/colagem comuns em listas e no Banco de Questões.
Exemplos resolvidos
Exemplo 1 — Área total
Enunciado. Num cubo de aresta a = 5 cm, calcule a área total.
Mostrar solução (AT)
- Fórmula: AT = 6a².
- AT = 6 × 5² = 6 × 25 = 150.
- AT = 150 cm².
Exemplo 2 — Volume
Enunciado. Um cubo tem aresta a = 4 m. Determine o volume.
Mostrar solução (V)
- Fórmula: V = a³.
- V = 4³ = 64.
- V = 64 m³.
Exemplo 3 — Diagonal do cubo
Enunciado. Para um cubo de aresta a = 6 cm, calcule a diagonal espacial D.
Mostrar solução (D)
- Fórmula: D = a√3.
- D = 6√3 cm; considere √3 ≈ 1,732.
- D ≈ 6 × 1,732 = 10,39 cm.
Exemplo 4 — Aresta pelo volume
Enunciado. O volume de um cubo é 343 cm³. Determine a aresta a.
Mostrar solução (a via ³√V)
- V = a³ ⇒ a = ³√V.
- a = ³√343 = 7 cm.
Exercícios de cubo (múltipla escolha) — com solução
1) Área total
Um cubo tem aresta a = 3 cm. Qual é a área total?
A) 18 cm² B) 27 cm² C) 36 cm² D) 54 cm²
Ver solução
- AT = 6a².
- AT = 6·3² = 6·9 = 54 cm².
- Alternativa correta: D.
2) Aresta a partir do volume
O volume de um cubo é 512 cm³. A aresta vale:
A) 6 cm B) 7 cm C) 8 cm D) 9 cm
Ver solução
- V = a³ ⇒ a = ³√512.
- ³√512 = 8 ⇒ a = 8 cm.
- Alternativa correta: C.
3) Diagonal do cubo
No cubo de aresta a = 10 cm, a diagonal do cubo é:
A) 10√2 cm B) 10√3 cm C) 5√6 cm D) 20√2 cm
Ver solução
- D = a√3.
- D = 10√3 cm ⇒ alternativa B.
4) Área lateral
Em um cubo, a área lateral é igual a 64 cm². A aresta mede:
A) 2 cm B) 3 cm C) 4 cm D) 8 cm
Ver solução
- AL = 4a².
- 4a² = 64 ⇒ a² = 16 ⇒ a = 4 cm.
- Alternativa correta: C.
5) Diagonal da face
Qual expressão representa corretamente a diagonal da face em função da aresta a?
A) a√2 B) a√3 C) 2a D) a/√2
Ver solução
- Na face quadrada: d = a√2.
- Alternativa correta: A.
Continue estudando
Compare o cubo com o paralelepípedo (mesmas ideias de área/volume com dimensões distintas) e com o prisma triangular (base diferente, raciocínio análogo de volume). Explore sólidos regulares: tetraedro e octaedro. Para seções/tangências, revise a esfera. Em problemas de apótema/perímetro de base, veja pirâmide.
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