Extensões Simples de Corpos

O que é uma Extensão Simples?

Uma extensão simples de um corpo \( E \) é uma extensão \( F : E \) que pode ser gerada pela adição de um único elemento \( \alpha \) ao corpo \( E \). Em outras palavras:

onde \( E[x] \) é o conjunto dos polinômios com coeficientes em \( E \). Assim, todo elemento de \( F \) pode ser escrito como uma combinação de potências de \( \alpha \) com coeficientes em \( E \).

Por que Extensões Simples são Importantes?

Extensões simples aparecem naturalmente quando buscamos corpos que contenham raízes de polinômios. Por exemplo:

• Para obter \( \sqrt{2} \), consideramos \( \mathbb{Q}(\sqrt{2}) \), uma extensão de \( \mathbb{Q} \) gerada por \( \sqrt{2} \).
• Para incluir \( i = \sqrt{-1} \), usamos \( \mathbb{R}(i) = \mathbb{C} \), a extensão dos reais pelos números imaginários.

Essas construções permitem fatorar polinômios que antes não possuíam raízes no corpo original.

Polinômio Mínimo

O polinômio mínimo de um elemento \( \alpha \in F \) sobre \( E \) é o polinômio monômio \( m_\alpha(x) \in E[x] \) de menor grau que satisfaz:

Esse polinômio é sempre irredutível em \( E[x] \) e determina completamente a estrutura da extensão \( E(\alpha) \).

Por exemplo, para \( \alpha = \sqrt{2} \), temos \( m_\alpha(x) = x^2 – 2 \).

Grau de uma Extensão Simples

O grau de uma extensão simples \( E(\alpha) : E \) é dado pelo grau do polinômio mínimo de \( \alpha \). Assim:

No caso de \( \mathbb{Q}(\sqrt{2}) \), o grau é 2, pois \( x^2 – 2 \) tem grau 2.

Extensões Algébricas e Transcendentes

Uma extensão simples \( E(\alpha) \) é chamada algébrica se \( \alpha \) é raiz de um polinômio com coeficientes em \( E \). Caso contrário, se \( \alpha \) não satisfaz nenhuma equação polinomial com coeficientes em \( E \), a extensão é chamada de transcendente.

Exemplo: \( \mathbb{Q}(\pi) \) é uma extensão transcendente, pois \( \pi \) não é raiz de nenhum polinômio em \( \mathbb{Q}[x] \).

Exemplos Clássicos

• \( \mathbb{Q}(\sqrt{3}) = \{ a + b\sqrt{3} \mid a,b \in \mathbb{Q} \} \).
• \( \mathbb{R}(i) = \{ a + bi \mid a,b \in \mathbb{R} \} = \mathbb{C} \).
• \( \mathbb{Q}(\zeta_n) \), onde \( \zeta_n \) é uma raiz primitiva da unidade, usado em teoria de Galois.

Resumo

Extensões simples são fundamentais na álgebra moderna. Elas permitem construir corpos maiores, incorporar raízes de polinômios e estudar a estrutura dos corpos através de elementos geradores e seus polinômios mínimos.

No estudo mais avançado, todas as extensões algébricas finitas podem ser obtidas como composições de extensões simples, o que torna este conceito uma peça central na teoria de corpos e na teoria de Galois.