4. Equivalências Lógicas
Equivalência lógica ocorre quando duas proposições compostas têm o mesmo valor lógico em todas as combinações possíveis de verdade e falsidade das proposições simples que as compõem.
Estudar equivalências lógicas é importante para simplificar proposições, resolver problemas de raciocínio lógico e reconhecer relações entre sentenças lógicas.
4.1 Negação de Proposições Simples
A negação de uma proposição é representada pelo símbolo ¬\neg, e o valor lógico é invertido.
- Se uma proposição pp é verdadeira (V), então sua negação ¬p é falsa (F).
- Se pp é falsa (F), então ¬p é verdadeira (V).
Exemplo:
- p: “Hoje está chovendo.”
- ¬p: “Hoje não está chovendo.”
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4.2 Leis de De Morgan
As Leis de De Morgan são fundamentais para encontrar a negação de proposições compostas e estabelecer equivalências lógicas.
- Negação da Conjunção ¬(p∧q):
- “Não é verdade que p e q” é equivalente a “¬p ou ¬q”.Em símbolos: ¬(p∧q) ≡ (¬p∨¬q)
- Proposição: “João estudou e Maria passou.”
- Negação: “João não estudou ou Maria não passou.”
- Negação da Disjunção ¬(p∨q):
- “Não é verdade que p ou q” é equivalente a “¬p e ¬q”.Em símbolos: ¬(p∨q) ≡ (¬p∧¬q)
- Proposição: “João estudou ou Maria passou.”
- Negação: “João não estudou e Maria não passou.”
4.3 Equivalências na Condicional (p→q)
A proposição condicional “Se p, então q” (p → q) possui equivalências importantes:
- Forma contraposita:
- A contraposita de p → q é: ¬q → ¬p. A proposição condicional é equivalente à sua contraposita.
- Proposição: “Se João estuda, então ele passa.”
- Contraposita: “Se João não passa, então ele não estudou.”
- Equivalência com a disjunção:
- A condicional p→q é equivalente a: ¬p∨q. Em palavras: “Se p, então q” é o mesmo que “Não p ou q”.
- Proposição: “Se João estudou, então ele passou.”
- Equivalente: “João não estudou ou ele passou.”
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4.4 Equivalências na Bicondicional (p ↔ q)
A proposição bicondicional “Se e somente se” (p↔q) é verdadeira apenas quando p e q têm o mesmo valor lógico. Ela pode ser decomposta em duas condicionais:
p ↔ q ≡ (p→q) ∧ (q→p)
Exemplo:
- Proposição: “João passa se e somente se ele estuda.”
- Equivalente: “Se João estuda, então ele passa e se João passa, então ele estudou.”
4.5 Tautologia, Contradição e Contingência
- Tautologia:
- Uma proposição é tautológica quando é sempre verdadeira, independentemente dos valores lógicos das proposições simples.
- Contradição:
- Uma proposição é contraditória quando é sempre falsa.
- Contingência:
- Uma proposição que pode ser verdadeira ou falsa, dependendo dos valores das proposições simples.
4.6 Exemplos Práticos
Exemplo 1: Negar a proposição: “Pedro passou no teste e Ana não estudou.”
- Proposição original:
- p: “Pedro passou no teste.”
- q: “Ana estudou.”
- p ∧ ¬q: “Pedro passou no teste e Ana não estudou.”
- Negação utilizando a Lei de De Morgan: ¬(p ∧ ¬q) ≡ ¬p ∨ q
- Negação: “Pedro não passou no teste ou Ana estudou.”
Exemplo 2: Encontre a contraposita de: “Se Maria estuda, então ela passa no concurso.”
- Proposição original:
- p: “Maria estuda.”
- q: “Ela passa no concurso.”
- Condicional: p → q.
- Contraposita: ¬q → ¬p
- “Se ela não passa no concurso, então Maria não estudou.”
Exemplo 3: Determine se a proposição (p → q)↔(¬q → ¬p) é uma equivalência.
Resolução:
Sabemos que a contraposita de p → q é ¬q → ¬p. Assim, as duas proposições têm o mesmo valor lógico, logo, são equivalentes.
Conclusão
O estudo das equivalências lógicas dentro da Matemática permite transformar proposições para formas mais simples, identificar contradições e resolver questões de raciocínio lógico com facilidade. Praticar com as Leis de De Morgan, contrapartidas de condicionais e tautologias ajuda a ganhar domínio sobre o tema.
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