Exercícios de Cálculo — Derivadas, Limites, Tangentes e Pontos Críticos (passo a passo)

Exercícios

1. 1) Calcule as derivadas

   • a) \(f(x)=x^{10}\)
   • b) \(f(x)=5x^{-6}\)
   Ver soluções do Exercício 1 (passo a passo)

   a) \(f(x)=x^{10}\)

   1. Use a regra da potência: \(\dfrac{d}{dx}x^n=n\,x^{n-1}\).
   2. Substitua \(n=10\): \(f'(x)=10x^{10-1}\).
   3. Simplifique: \(f'(x)=10x^9\).

   b) \(f(x)=5x^{-6}\)

   1. A constante \(5\) permanece multiplicando a derivada.
   2. Potência negativa: \(\dfrac{d}{dx}x^{-6}=-6x^{-7}\).
   3. Multiplique: \(f'(x)=5\cdot(-6x^{-7})=-30x^{-7}\).
   4. Forma sem potência negativa: \(f'(x)=-\dfrac{30}{x^7}\).

2. 2) Reta tangente a \(f(x)=2x^{3}-5x^{2}+4\) no ponto \(x=1\).

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   1. Calcule o ponto na curva: \(f(1)=2-5+4=1\Rightarrow (1,1)\).
   2. Derive a função: \(f'(x)=6x^{2}-10x\).
   3. Inclinação no ponto: \(m=f'(1)=6-10=-4\).
   4. Use a forma ponto-inclinação: \(y-y_0=m(x-x_0)\) com \((x_0,y_0)=(1,1)\).
   5. Substitua e simplifique: \(y-1=-4(x-1)\Rightarrow\) \(\boxed{y=-4x+5}\).

3. 3) Derive \(f(x)=\dfrac{\sin x}{x^{6}}\) usando a Regra do Quociente.

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   1. Identifique \(u=\sin x\Rightarrow u’=\cos x\) e \(v=x^6\Rightarrow v’=6x^5\).
   2. Regra do quociente: \(\left(\frac{u}{v}\right)’=\dfrac{u’v-uv’}{v^2}\).
   3. Aplique: \(\dfrac{\cos x\cdot x^6-\sin x\cdot 6x^5}{x^{12}}\).
   4. Fatore \(x^5\) no numerador e simplifique com \(x^{12}\):

   \(f'(x)=\dfrac{x\cos x-6\sin x}{x^7}\), \(x\neq0\).

4. 4) Calcule a derivada: \(f(x)=\ln(x^{3}+1)\)

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   1. Defina \(u=x^{3}+1\Rightarrow u’=3x^{2}\).
   2. Use \(\dfrac{d}{dx}\ln u=\dfrac{u’}{u}\).
   3. Substitua: \(f'(x)=\dfrac{3x^{2}}{x^{3}+1}\).

5. 5) Reta tangente à curva \(y=(2x-3)^{4}\) no ponto \((2,1)\).

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   1. Derive por cadeia: \(y’=4(2x-3)^{3}\cdot 2=8(2x-3)^3\).
   2. Inclinação no ponto: \(m=y'(2)=8(1)^3=8\).
   3. Equação: \(y-1=8(x-2)\Rightarrow\) \(\boxed{y=8x-15}\).

6. 6) Derive \(f(x)=\ln(\cos x)\)

   Ver solução (passo a passo)

   1. Defina \(u=\cos x\Rightarrow u’=-\sin x\).
   2. Use \(\dfrac{d}{dx}\ln u=\dfrac{u’}{u}\).
   3. Substitua: \(f'(x)=\dfrac{-\sin x}{\cos x}\).
   4. Simplifique: \(\boxed{f'(x)=-\tan x}\), válido onde \(\cos x\ne0\).

7. 7) Derivação implícita: \(x^{2}y+\sin(y)=\ln x\)

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   1. Diferencie \(x^2y\) (produto): \(2xy+x^2y’\).
   2. Diferencie \(\sin y\) (cadeia): \(\cos(y)\,y’\).
   3. Diferencie \(\ln x\): \(\dfrac{1}{x}\) (com \(x>0\)).
   4. Monte: \(2xy+x^2y’+\cos(y)\,y’=\dfrac{1}{x}\).
   5. Fatore \(y’\): \(y'(x^2+\cos y)=\dfrac{1}{x}-2xy\).
   6. Isole \(y’\): \(\boxed{y’=\dfrac{\frac1x-2xy}{x^{2}+\cos y}}\).

8. 8) Limite \(\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{e^{5x}-5x-1}{x^{2}}\)

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   1. Substitua \(x=0\): \(\frac{1-0-1}{0}=0/0\) (indeterminação).
   2. Aplique L’Hôpital: derive numerador e denominador → \(\dfrac{5e^{5x}-5}{2x}\) (ainda \(0/0\)).
   3. Aplique L’Hôpital novamente: \(\dfrac{25e^{5x}}{2}\).
   4. Faça \(x\to0\): \(e^{0}=1\Rightarrow\) \(\boxed{\dfrac{25}{2}}\).

   Checagem por série: \(e^{5x}=1+5x+\tfrac{25}{2}x^{2}+\cdots\Rightarrow\) o quociente tende a \(\tfrac{25}{2}\).

9. 9) Limite \(\displaystyle \lim_{x\to1}\frac{\ln x}{x^{2}-x}\)

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   1. Substitua \(x=1\): \(\frac{0}{0}\) (indeterminação).
   2. L’Hôpital: \(\dfrac{(1/x)}{2x-1}\).
   3. Agora é contínuo em \(x=1\): avalie \(\dfrac{1}{1}/(2-1)=1\).
   4. Conclusão: \(\boxed{1}\).

10. 10) Bônus — Pontos críticos de \(f(x)=3x^{5}+5x^{4}-10x^{3}-15\)

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    1. Derive: \(f'(x)=15x^{4}+20x^{3}-30x^{2}\).
    2. Fatore: \(f'(x)=5x^{2}(3x^{2}+4x-6)\).
    3. Zere a derivada: \(5x^{2}=0 \Rightarrow x=0\) (raiz dupla).
    4. Resolva \(3x^{2}+4x-6=0\Rightarrow x=\dfrac{-4\pm\sqrt{16+72}}{6}=\dfrac{-2\pm\sqrt{22}}{3}\).
    5. Abscissas críticas: \(\{0,\; \tfrac{-2+\sqrt{22}}{3},\; \tfrac{-2-\sqrt{22}}{3}\}\).

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