As equações logarítmicas aparecem com frequência em provas de vestibulares e concursos. Resolver esse tipo de questão requer o domínio das propriedades dos logaritmos e das transformações para a forma exponencial.
Neste artigo, você encontrará uma lista de exercícios resolvidos e questões de múltipla escolha que cobrem os principais tipos de equações logarítmicas cobradas em avaliações.
1. Relembrando o conceito
Uma equação logarítmica é toda aquela que apresenta a incógnita dentro de um logaritmo. Para resolvê-la, aplicamos propriedades fundamentais e, se necessário, transformamos em forma exponencial.
- \( a > 0 \) e \( a \neq 1 \)
- \( x > 0 \) — pois o logaritmando deve ser positivo
2. Exercícios resolvidos
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Transformando em forma exponencial: \( x – 1 = 3^2 \Rightarrow x = 10 \).
Resposta: x = 10
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Como as bases são iguais: \( x + 1 = 5x – 3 \Rightarrow 4x = 4 \Rightarrow x = 1 \).
Condição: \( x > 0.6 \) → válida.
Resposta: x = 1
3. Questões de múltipla escolha
- a) 8
- b) 15
- c) 17
- d) 9
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\( x – 1 = 2^4 \Rightarrow x = 17 \)
Resposta: c) 17
- a) 21
- b) 20
- c) 19
- d) 18
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\( x + 4 = 25 \Rightarrow x = 21 \)
Resposta: a) 21
- a) 5 ou -1
- b) 4 ou -2
- c) 3 ou -3
- d) 2 ou -4
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\( x^2 – 4 = 9 \Rightarrow x^2 = 13 \Rightarrow x = \pm \sqrt{13} \)
Como \( x^2 – 4 > 0 \), ambos são válidos.
Resposta: x = ±√13
- a) 3
- b) 4
- c) 5
- d) 6
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Usando a propriedade do produto: \( \log_4 [x(x – 2)] = 1 \Rightarrow x(x – 2) = 4 \)
\( x^2 – 2x – 4 = 0 \Rightarrow x = 1 + \sqrt{5} \) ou \( x = 1 – \sqrt{5} \)
O valor válido é \( x = 1 + \sqrt{5} \).
Resposta: a) 3 (aproximadamente)
- a) 2
- b) 3
- c) 4
- d) 5
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\( x + 2 = x^2 – 3x + 4 \Rightarrow x^2 – 4x + 2 = 0 \Rightarrow x = 2 ± \sqrt{2} \)
Ambos positivos, logo válidos.
Resposta: x = 2 ± √2
4. Dica para revisar
As equações logarítmicas podem ser simplificadas usando as propriedades fundamentais:
Essas relações permitem transformar uma soma ou diferença de logaritmos em um único logaritmo, facilitando a resolução.
