Exercícios de Mudança de Base de Logaritmos
A mudança de base permite calcular logaritmos em qualquer base usando uma base conhecida (10 ou \(e\)). Ferramenta essencial para ENEM e concursos.
Fórmula
\( \displaystyle \log_{a} b=\frac{\log_{c} b}{\log_{c} a}\quad (a>0,\;a\ne1,\;b>0,\;c>0,\;c\ne1) \)
Exercícios (com respostas em “abre/fecha”)
24) Calcule usando propriedades e mudança de base
a) \( \log_{3}2 \cdot \log_{8}3^{1/3} \)
\( \dfrac{1}{2} \)
b) \( \log_{7}3 \cdot \log_{10}7 \cdot \log_{9}10^{1/2} \)
\( \dfrac{1}{2} \)
c) \( \log_{8}6 \cdot \log_{10}8 \cdot \log_{12}10 \cdots \log_{216}214^{1/3} \)
\( 3 \)
d) \( \dfrac{\log_{7}8}{\log_{7}2^{3}} \)
\( \dfrac{1}{3} \)
25) Aproximação
(Uesc-BA) Sabendo que \( \log 3=0{,}47 \) e \( \log 2=0{,}30 \), o valor que mais se aproxima de \( \log 146 \) é:
- a) 2,64
- b) 2,58
- c) 2,19
- d) 2,08
- e) 2,03
26) Resolva as equações
a) \( \log_{3}(x-2)-\log_{9}(x-2)=2 \)
\( S=\{83\} \)
b) \( \log_{16}x+\log_{4}x+\log_{2}x=\tfrac{7}{4} \)
\( S=\{2\} \)
c) \( \log_{2}(x-1)-\log_{4}(x-1)=1 \)
\( S=\{5\} \)
d) \( \log_{3}x+\dfrac{1}{\log_{x}3}=1 \)
\( S=\{\sqrt{3}\} \)
e) \( \log_{8}x \cdot \log_{4}x \cdot \log_{2}x=-\dfrac{4}{3} \)
\( S=\{\tfrac{1}{4}\} \)
f) \( \log_{x}4+\log_{2}x=3 \)
\( S=\{2,4\} \)
g) \( \log_{4}x \cdot \log_{2}x=8 \)
\( S=\{\tfrac{1}{16},\,16\} \)
h) \( \dfrac{1}{\log_{x}2}+\dfrac{1}{\log_{2x}4}=3 \)
\( S=\{2\sqrt{4}\} \)
Conclusão
Com a mudança de base, você uniformiza a base e simplifica cálculos e equações. Pratique os itens acima e, se quiser, eu monto um **simulado de 15 questões inéditas** só sobre o tema.
