Expressões Numéricas com Potenciação e Radiciação — Guia Completo

Neste guia você aprende a dominar potências e raízes dentro de expressões numéricas: leis de expoentes, propriedades de radicais, ordem de prioridade, exemplos e exercícios com gabarito. Para revisar outros tópicos relacionados, veja: Conjuntos Numéricos, Expressões com Números Inteiros, Expressões com Racionais e Decimais e Expressões com Frações. Para naturais, consulte também Expressões com Números Naturais.

Ordem de Prioridade (PEMDAS/BODMAS adaptado)

1. Parênteses \((\,)\), depois colchetes \([\;]\) e chaves \(\{\;\}\)
2. Potenciação e Radiciação
3. Multiplicação e Divisão (da esquerda para a direita)
4. Soma e Subtração (da esquerda para a direita)

Potenciação — propriedades essenciais

• Definição: \(a^n=\underbrace{a\cdot a\cdots a}_{n\text{ vezes}}\), com \(n\in\mathbb{N}\).
• Produto de potências (mesma base): \(a^m\cdot a^n=a^{m+n}\).
• Quociente de potências (mesma base): \(\dfrac{a^m}{a^n}=a^{m-n}\) (com \(a\neq0\)).
• Potência de potência: \((a^m)^n=a^{mn}\).
• Potência de produto: \((ab)^n=a^n b^n\); Potência de quociente: \(\left(\dfrac{a}{b}\right)^n=\dfrac{a^n}{b^n}\) \((b\neq0)\).
• Expoente zero: \(a^0=1\) (com \(a\neq0\)).
• Expoente negativo: \(a^{-n}=\dfrac{1}{a^n}\) \((a\neq0)\).
• Base negativa e parênteses: \((-3)^2=9\) mas \(-3^2=-(3^2)=-9\).
• Expoente fracionário: \(a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}=(\sqrt[n]{a})^m\) (para \(a\ge 0\) quando \(n\) é par).

Radiciação — propriedades essenciais

• Definição: \(\sqrt[n]{a}=b \iff b^n=a\).
• Produto/Quociente sob o radical: \(\sqrt[n]{ab}=\sqrt[n]{a}\cdot\sqrt[n]{b}\), \(\ \sqrt[n]{\dfrac{a}{b}}=\dfrac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}\) \((b\neq0)\).
• Simplificação de radicais: \(\sqrt{72}=\sqrt{36\cdot2}=6\sqrt{2}\), \(\ \sqrt{18}=3\sqrt{2}\), \(\ \sqrt{8}=2\sqrt{2}\).
• Racionalização (exemplo): \(\dfrac{5}{\sqrt{20}}=\dfrac{5}{2\sqrt{5}}\cdot\dfrac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}=\dfrac{\sqrt{5}}{2}\).
• Índices ímpares aceitam negativos: \(\sqrt[3]{-27}=-3\). Já \(\sqrt{-1}\) não é real.

Exemplos Resolvidos

🧠 Exercícios Propostos (Potenciação & Radiciação)

Resolva e confira no gabarito interativo logo abaixo.

1. \( (-3)^2 + 2^3\cdot\sqrt{49} – 5 \)
2. \( -3^2 + (-2)^3 + \dfrac{\sqrt{144}}{-3} \)
3. \( 27^{\frac{2}{3}} + \sqrt{\dfrac{1}{16}} \)
4. \( \left(\dfrac{3}{2}\right)^{-2} + \left(\dfrac{1}{4}\right)^{-1} – \sqrt{0{,}81} \)
5. \( \dfrac{5}{\sqrt{20}} \) (racionalize)
6. \( \sqrt{72} – 2\sqrt{18} + 3\sqrt{8} \)
7. \( \dfrac{(2^3)^2\cdot 5^{-1}}{10^{-2}} \)
8. \( \big(\sqrt{81}\big)^{-1} + \left(\dfrac{1}{9}\right)^{-1/2} \)
9. \( 16^{3/4} + 32^{-5/5} \)
10. \( \sqrt[3]{64}\cdot\sqrt{49}\div 7^{-2} \)
11. \( \dfrac{\big((-4)^3\big)^2}{\big((-4)^2\big)^3} \)
12. \( \left(\sqrt{\dfrac{9}{25}}\right)^{-2} – \dfrac{27^{2/3}}{3^2} \)

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