Se você está estudando para ENEM, vestibulares ou concursos, é quase certo que vai encontrar questões envolvendo progressão aritmética (PA). A boa notícia é que as fórmulas principais são poucas, se conectam entre si e podem ser treinadas com exemplos simples do dia a dia.
Por que dominar as fórmulas de progressão aritmética?
A progressão aritmética aparece em problemas de parcelas mensais, sequência de salários, tabelas de notas, organização de pessoas em filas e muito mais. Quem sabe usar as fórmulas certas ganha velocidade na prova, evita cálculos desnecessários e ainda diminui o número de erros por distração.
Neste guia, vamos transformar a tabela “As Fórmulas de PA que Caem em Toda Prova” em um roteiro completo: você verá o significado de cada fórmula, exemplos resolvidos passo a passo (sempre com a parte matemática escrita um passo abaixo do outro) e, ao final, uma lista de exercícios com soluções no sistema abre e fecha.
Resumo das principais fórmulas da progressão aritmética
A tabela abaixo reúne as fórmulas de PA que todo estudante precisa ter no caderno de revisão. Vamos utilizá-las ao longo do artigo com muitos exemplos.
| Tópico | Fórmula em notação matemática |
|---|---|
| Termo geral da PA | \(a_n = a_1 + (n – 1)r\) |
| Razão da PA | \(r = a_n – a_{n-1}\) |
| Soma dos \(n\) termos | \(S_n = \dfrac{(a_1 + a_n)\,n}{2}\) |
| Soma sem o último termo | \(S_n = \dfrac{n}{2}\,\bigl(2a_1 + (n-1)r\bigr)\) |
| Termo do meio (quando \(n\) é ímpar) | \(a_{\text{meio}} = \dfrac{a_1 + a_n}{2}\) |
| Média de três termos consecutivos | \(b = \dfrac{a + c}{2}\) |
| Condição para ser PA | \(a_n – a_{n-1} = r\) |
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Como usar a fórmula do termo geral de uma progressão aritmética
O termo geral é a fórmula que permite calcular qualquer termo da sequência sem precisar listar todos os anteriores. Se a PA tem primeiro termo \(a_1\) e razão \(r\), o \(n\)-ésimo termo é dado por \(a_n = a_1 + (n – 1)r\).
Exemplo prático de termo geral na progressão aritmética
Considere a PA \(3, 5, 7, 9, \dots\). Determine o \(10^\circ\) termo \(a_{10}\).
Fórmula: \(a_n = a_1 + (n – 1)r\)
Aqui temos \(a_1 = 3\), \(r = 2\) e \(n = 10\). Vamos aplicar, deixando as contas uma abaixo da outra:
\(a_{10} = a_1 + (10 – 1)r\)
\(a_{10} = 3 + 9 \cdot 2\)
\(a_{10} = 3 + 18\)
\(a_{10} = 21\)
Portanto, o décimo termo dessa PA é 21.
Como identificar a razão de uma progressão aritmética
A razão da PA é o número que está sendo somado (ou subtraído) a cada passo da sequência. Em notação, a fórmula é \(r = a_n – a_{n-1}\), ou seja, basta fazer um termo menos o termo anterior.
Exemplo simples para calcular a razão da PA
Em uma sequência \(7, 10, 13, 16, \dots\), calcule a razão da PA.
Vamos pegar dois termos consecutivos, por exemplo \(a_2 = 10\) e \(a_1 = 7\):
\(r = a_2 – a_1\)
\(r = 10 – 7\)
\(r = 3\)
A razão da progressão é 3. O mesmo resultado seria obtido com \(a_3 – a_2\) ou \(a_4 – a_3\).
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Soma dos termos de uma progressão aritmética finita
Quando a questão pede a soma dos \(n\) primeiros termos de uma PA, usamos a fórmula \(S_n = \dfrac{(a_1 + a_n)\,n}{2}\). Ela combina o primeiro com o último termo e multiplica pelo número de termos.
Exemplo de soma dos n primeiros termos da PA
Uma PA tem \(a_1 = 4\), razão \(r = 3\) e \(10\) termos. Calcule a soma \(S_{10}\).
1) Encontrar o último termo \(a_{10}\)
\(a_{10} = a_1 + (10 – 1)r\)
\(a_{10} = 4 + 9 \cdot 3\)
\(a_{10} = 4 + 27\)
\(a_{10} = 31\)
2) Aplicar a fórmula da soma
\(S_{10} = \dfrac{(a_1 + a_{10}) \cdot 10}{2}\)
\(S_{10} = \dfrac{(4 + 31) \cdot 10}{2}\)
\(S_{10} = \dfrac{35 \cdot 10}{2}\)
\(S_{10} = \dfrac{350}{2}\)
\(S_{10} = 175\)
A soma dos dez primeiros termos é 175.
Como somar termos de PA usando apenas o primeiro termo e a razão
Em muitos exercícios você não conhece o último termo, mas sabe o primeiro termo \(a_1\), a razão \(r\) e o número de termos \(n\). Nessa situação é comum usar a forma \(S_n = \dfrac{n}{2}\,\bigl(2a_1 + (n-1)r\bigr)\).
Exemplo de soma usando a fórmula com \(a_1\) e \(r\)
Uma PA tem primeiro termo \(a_1 = 5\), razão \(r = 2\) e \(n = 15\) termos. Calcule a soma \(S_{15}\).
\(S_{15} = \dfrac{15}{2}\,\bigl(2 \cdot 5 + (15 – 1) \cdot 2\bigr)\)
\(S_{15} = \dfrac{15}{2}\,\bigl(10 + 14 \cdot 2\bigr)\)
\(S_{15} = \dfrac{15}{2}\,\bigl(10 + 28\bigr)\)
\(S_{15} = \dfrac{15}{2} \cdot 38\)
\(S_{15} = \dfrac{570}{2}\)
\(S_{15} = 285\)
A soma dos quinze termos dessa PA é 285.
Termo do meio em progressão aritmética com número ímpar de termos
Quando a PA tem quantidade ímpar de termos, o termo do meio é igual à média entre o primeiro e o último: \(a_{\text{meio}} = \dfrac{a_1 + a_n}{2}\).
Exemplo de termo central em sequência aritmética
Em uma PA com \(9\) termos, temos \(a_1 = 2\) e \(a_9 = 34\). Determine o termo do meio.
\(a_{\text{meio}} = \dfrac{a_1 + a_9}{2}\)
\(a_{\text{meio}} = \dfrac{2 + 34}{2}\)
\(a_{\text{meio}} = \dfrac{36}{2}\)
\(a_{\text{meio}} = 18\)
Logo, o termo central dessa PA é 18.
Média de três termos consecutivos em progressão aritmética
Se \(a\), \(b\) e \(c\) são três termos consecutivos de uma PA, o termo do meio é a média aritmética dos outros dois: \(b = \dfrac{a + c}{2}\). Essa ideia aparece bastante em questões de concursos.
Exemplo envolvendo média de três termos consecutivos da PA
Em uma PA, três termos consecutivos são \(x\), \(10\) e \(22\). Determine o valor de \(x\).
Pela propriedade da média:
\(10 = \dfrac{x + 22}{2}\)
\(20 = x + 22\)
\(x = 20 – 22\)
\(x = -2\)
Logo, o primeiro termo do trio é \(-2\).
Condição para uma sequência ser progressão aritmética
Para verificar se uma sequência é uma PA, basta conferir se a diferença entre termos consecutivos é sempre a mesma. Em termos de fórmula: \(a_n – a_{n-1} = r\), para todos os índices válidos.
Exemplo de teste para saber se a sequência é PA
Verifique se a sequência \(4, 9, 14, 19, 24\) é uma progressão aritmética.
\(9 – 4 = 5\)
\(14 – 9 = 5\)
\(19 – 14 = 5\)
\(24 – 19 = 5\)
Como todas as diferenças são iguais a 5, a sequência é uma PA de razão \(r = 5\).
Onde treinar progressão aritmética para provas e concursos
Depois de entender as fórmulas, o próximo passo é resolver muitas questões parecidas com as das bancas. No Matemática Hoje você encontra materiais específicos para isso.
Use esses materiais para criar ciclos de revisão: releia as fórmulas, resolva exercícios de PA e depois confira as soluções comentadas.
Lista de exercícios de progressão aritmética com soluções comentadas
Agora é a sua vez. Resolva os exercícios abaixo antes de abrir as soluções. Depois, compare o passo a passo com o seu raciocínio.
Exercício 1 – Encontrando um termo geral da PA
Em uma progressão aritmética, o primeiro termo é \(a_1 = 7\) e a razão é \(r = 4\). Qual é o \(15^\circ\) termo dessa PA?
Ver solução passo a passo
Usando a fórmula do termo geral:
\(a_n = a_1 + (n – 1)r\)
\(a_{15} = 7 + (15 – 1) \cdot 4\)
\(a_{15} = 7 + 14 \cdot 4\)
\(a_{15} = 7 + 56\)
\(a_{15} = 63\)
Portanto, o \(15^\circ\) termo da PA é 63.
Exercício 2 – Soma dos n primeiros termos
Uma PA tem \(a_1 = 2\), razão \(r = 5\) e apresenta \(12\) termos. Calcule a soma \(S_{12}\) dos doze primeiros termos.
Ver solução passo a passo
1) Calcular o último termo \(a_{12}\)
\(a_{12} = a_1 + (12 – 1)r\)
\(a_{12} = 2 + 11 \cdot 5\)
\(a_{12} = 2 + 55\)
\(a_{12} = 57\)
2) Aplicar a fórmula da soma \(S_n\)
\(S_{12} = \dfrac{(a_1 + a_{12}) \cdot 12}{2}\)
\(S_{12} = \dfrac{(2 + 57) \cdot 12}{2}\)
\(S_{12} = \dfrac{59 \cdot 12}{2}\)
\(S_{12} = \dfrac{708}{2}\)
\(S_{12} = 354\)
A soma dos doze primeiros termos dessa PA é 354.
Exercício 3 – Situação problema com progressão aritmética
Em um plano de estudos, um estudante decide resolver \(6\) questões de matemática no primeiro dia, \(9\) no segundo e seguir aumentando sempre o mesmo número de questões por dia, formando uma PA. Quantas questões ele terá resolvido ao final do \(10^\circ\) dia?
Ver solução passo a passo
Identificando a PA:
\(a_1 = 6\)
\(a_2 = 9\)
\(r = a_2 – a_1 = 9 – 6 = 3\)
1) Calcular o número de questões no \(10^\circ\) dia
\(a_{10} = a_1 + (10 – 1)r\)
\(a_{10} = 6 + 9 \cdot 3\)
\(a_{10} = 6 + 27\)
\(a_{10} = 33\)
2) Calcular a soma total de questões em 10 dias
\(S_{10} = \dfrac{(a_1 + a_{10}) \cdot 10}{2}\)
\(S_{10} = \dfrac{(6 + 33) \cdot 10}{2}\)
\(S_{10} = \dfrac{39 \cdot 10}{2}\)
\(S_{10} = \dfrac{390}{2}\)
\(S_{10} = 195\)
Ao final do décimo dia, o estudante terá resolvido 195 questões.
Exercício 4 – Termo do meio em um concurso
Um concurso distribui prêmios em dinheiro seguindo uma PA: o primeiro colocado recebe R$ 1.000,00 e o último, R$ 4.000,00. Sabendo que há 7 premiados, qual é o valor recebido pelo concorrente que está exatamente no meio do ranking?
Ver solução passo a passo
Usando a fórmula do termo do meio:
\(a_1 = 1000\)
\(a_7 = 4000\)
\(a_{\text{meio}} = \dfrac{a_1 + a_7}{2}\)
\(a_{\text{meio}} = \dfrac{1000 + 4000}{2}\)
\(a_{\text{meio}} = \dfrac{5000}{2}\)
\(a_{\text{meio}} = 2500\)
O concorrente do meio recebe R$ 2.500,00.
Exercício 5 – Verificando se a sequência é uma PA
A sequência \(12, 9, 6, 3, 0\) representa o saldo de pontos de um jogo ao final de cinco rodadas. Verifique se essa sequência é uma progressão aritmética e determine sua razão.
Ver solução passo a passo
Calculando as diferenças consecutivas:
\(9 – 12 = -3\)
\(6 – 9 = -3\)
\(3 – 6 = -3\)
\(0 – 3 = -3\)
Como todas as diferenças são iguais a \(-3\), a sequência é uma progressão aritmética de razão \(-3\).
Conclusão: como fixar de vez as fórmulas de PA nas revisões
As fórmulas que você viu aqui são exatamente as que mais aparecem em provas de ensino médio, ENEM e concursos. Dominar o termo geral, a razão, a soma dos \(n\) termos e o termo do meio é suficiente para resolver a maioria absoluta das questões de progressão aritmética.
Para fixar, minha sugestão é: copie a tabela de fórmulas para o seu caderno, resolva novos exercícios do Banco de Questões Matemática Hoje e volte a este resumo sempre que sentir necessidade de revisar.
Perguntas frequentes sobre fórmulas de progressão aritmética
Quais são as fórmulas de PA mais cobradas em provas e concursos?
As fórmulas mais cobradas são: termo geral \(a_n = a_1 + (n-1)r\), razão \(r = a_n – a_{n-1}\), soma dos \(n\) termos \(S_n = \dfrac{(a_1 + a_n)n}{2}\) e a versão com \(a_1\) e \(r\), \(S_n = \dfrac{n}{2}\bigl(2a_1 + (n-1)r\bigr)\). Em seguida aparecem exercícios com termo do meio e média de três termos consecutivos.
Como saber se uma sequência realmente é uma progressão aritmética?
Para verificar se uma sequência é PA, calcule a diferença entre termos consecutivos. Se todas as diferenças forem iguais, temos uma progressão aritmética. Em linguagem de fórmula, isso significa que \(a_n – a_{n-1} = r\) para todos os índices. Qualquer quebra nessa igualdade indica que a sequência não é aritmética.
Qual a melhor maneira de decorar as fórmulas de PA para o ENEM?
Em vez de apenas repetir as fórmulas, associe cada uma a um tipo de situação: termo geral para achar um elemento específico, soma para total de parcelas e termo do meio para distribuições simétricas. Refaça exercícios comentados, escrevendo a fórmula e as contas em colunas, até que o uso fique automático durante a resolução das questões.
Progressão aritmética cai muito nas questões de matemática do ENEM?
PA e progressão geométrica aparecem com frequência nas provas do ENEM, geralmente em problemas de contexto financeiro, organização de tabelas e planejamento de estudos. Mesmo quando o enunciado não cita o nome “progressão aritmética”, as quantidades crescem ou decrescem de forma constante, permitindo aplicar diretamente as fórmulas do conteúdo.
Quais materiais do Matemática Hoje ajudam a aprofundar progressões?
Além deste artigo, você pode estudar PA usando o eBook gratuito de fórmulas , os mapas mentais de matemática e o banco de questões . Juntos, esses materiais formam uma base completa para treinar progressões e outros temas muito cobrados em provas.
