Interpolação Geométrica
Interpolar k meios geométricos entre \(a\) e \(b\) significa construir uma P.G. de extremos \(a_1=a\) e \(a_n=b\) com \(n=k+2\) termos. A seguir, a fórmula da razão, exemplos e exercícios para fixação.
Razão da P.G. que interpola k meios
Partindo de \(a_n=a_1\cdot q^{\,n-1}\) e \(n=k+2\):
\(b=a\cdot q^{\,k+1}\ \Rightarrow\ \displaystyle q=\sqrt[k+1]{\frac{b}{a}}\) (com \(a\neq0\)).
Observações: se \(a\) e \(b\) têm sinais opostos, então \(\frac{b}{a}<0\) e a raiz ímpar produz \(q<0\) (P.G. alternante); se a raiz é par, não há P.G. real com sinais opostos.
Exemplo guia
Interpolem-se 2 meios geométricos entre \(3\) e \(24\) (logo, \(k=2\) e \(n=4\)).
Razão: \(q=\sqrt[3]{\frac{24}{3}}=\sqrt[3]{8}=2\).
Sequência (4 termos): \(3,\ 3\cdot2,\ 3\cdot2^2,\ 3\cdot2^3\Rightarrow \boxed{3,6,12,24}\).
Exercícios (com múltipla escolha)
1) Dois meios entre 4 e 108
Interpolem-se 2 meios geométricos entre \(4\) e \(108\). Qual é a razão \(q\) e a sequência correta?
- A) \(q=2\): \(4,8,16,32\)
- B) \(q=3\): \(4,12,36,108\)
- C) \(q=\dfrac{3}{2}\): \(4,6,9,13{,}5\)
- D) \(q=\sqrt{3}\): \(4,4\sqrt{3},12,12\sqrt{3}\)
\(k=2\Rightarrow q=\sqrt[3]{\frac{108}{4}}=\sqrt[3]{27}=3\).
Sequência: \(4,12,36,108\).
Resposta: B ✅
2) Três meios entre 5 e 405
Interpolem-se 3 meios (\(k=3\)) entre \(5\) e \(405\). A razão \(q\) é:
- A) \(2\)
- B) \(3\)
- C) \( \sqrt[4]{81} \)
- D) \( \dfrac{405}{5} \)
\(q=\sqrt[4]{\frac{405}{5}}=\sqrt[4]{81}=3\).
Sequência: \(5,15,45,135,405\).
Resposta: B ✅
3) Quantos meios são necessários?
Entre \(2\) e \(162\) deseja-se uma P.G. com razão \(q=3\). Quantos meios geométricos \(k\) devem ser interpolados?
- A) \(k=2\)
- B) \(k=3\)
- C) \(k=4\)
- D) \(k=5\)
Se \(a_1=2\), \(q=3\) e \(a_n=162\): \(162=2\cdot3^{n-1}\Rightarrow 3^{n-1}=81=3^4\Rightarrow n=5\).
Como \(k=n-2\), temos \(k=3\).
Resposta: B ✅
4) Sinais opostos nos extremos
Interpolem-se 2 meios entre \(4\) e \(-108\). A razão \(q\) é:
- A) \(q=3\)
- B) \(q=-3\)
- C) \(q=\sqrt[3]{-27}=3i\)
- D) Não existe P.G. real
\(q=\sqrt[3]{\frac{-108}{4}}=\sqrt[3]{-27}=-3\) (raiz ímpar de número negativo é real).
Sequência: \(4,\ -12,\ 36,\ -108\).
Resposta: B ✅
5) Encontrar o extremo inicial
Interpola-se 1 meio (\(k=1\)) entre \(a\) e \(50\) com \(q=\dfrac{5}{2}\). O valor de \(a\) é:
Com \(k=1\Rightarrow n=3\), logo \(b=a\cdot q^{2}\). Assim, \(a=\dfrac{b}{q^2}=\dfrac{50}{\left(\tfrac{5}{2}\right)^2}=\dfrac{50}{\tfrac{25}{4}}=50\cdot\dfrac{4}{25}=8\).
Sequência: \(8,\ 20,\ 50\).
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