Intervalo e Desigualdade: Guia Completo com Exemplos e Exercícios
Publicado em: Matemática Hoje • Atualizado para concursos, ENEM e vestibulares
O estudo dos intervalos reais e das desigualdades é essencial na Matemática, pois permite representar conjuntos de números que satisfazem certas condições. Neste artigo, você entenderá como interpretar e escrever intervalos, verá exemplos resolvidos e ainda testará seu conhecimento com exercícios práticos.
🔹 O que é uma desigualdade?
Uma desigualdade é uma relação que compara dois números reais usando os símbolos:
- < : menor que
- > : maior que
- ≤ : menor ou igual a
- ≥ : maior ou igual a
Por exemplo:
- x > 3 representa todos os números maiores que 3.
- x ≤ 5 representa todos os números menores ou iguais a 5.
🔹 O que é um intervalo?
Um intervalo é o conjunto de todos os números reais entre dois extremos (ou ilimitados). Ele é representado com colchetes e parênteses, conforme o tipo de limite:
- (a, b) — intervalo aberto: a < x < b
- [a, b] — intervalo fechado: a ≤ x ≤ b
- (a, b] — aberto à esquerda e fechado à direita
- [a, b) — fechado à esquerda e aberto à direita
Quando um intervalo é infinito, usamos:
- (a, ∞) → todos os números maiores que a
- (−∞, a) → todos os números menores que a
🔹 Relação entre desigualdade e notação de intervalo
A imagem a seguir mostra a correspondência direta entre as desigualdades e as notações de intervalo:
Observe que:
- Os pontos abertos (○) indicam que o valor não pertence ao conjunto.
- Os pontos fechados (●) indicam que o valor pertence ao conjunto.
- Os símbolos ∞ e −∞ são sempre usados com parênteses.
📘 Exemplo 1 — Intervalo limitado
Desigualdade: x ≥ 2 e x ≤ 6
Intervalo: [2, 6]
Interpretação: o conjunto contém todos os valores de x entre 2 e 6, inclusive os extremos.
📘 Exemplo 2 — Intervalo infinito
Desigualdade: x > 5
Intervalo: (5, ∞)
Interpretação: todos os números reais maiores que 5.
📘 Exemplo 3 — União de intervalos
Desigualdade: x ≤ 1 ou x ≥ 5
Intervalo: (−∞, 1] ∪ [5, ∞)
Interpretação: valores menores ou iguais a 1 ou maiores ou iguais a 5.
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🧠 Exercícios Resolvidos
Exercício 1
Represente o conjunto dos números reais que satisfazem −2 < x ≤ 4.
Solução:
Intervalo: (−2, 4]
Gráfico: ponto aberto em −2 e fechado em 4.
Exercício 2
Escreva na forma de desigualdade o intervalo [3, ∞).
Solução:
x ≥ 3
Exercício 3
Determine o intervalo que representa x < 0 ou x ≥ 2.
Solução:
Intervalo: (−∞, 0) ∪ [2, ∞)
📗 Exercícios Propostos
- Escreva na forma de intervalo: −3 ≤ x < 5
- Escreva na forma de desigualdade: (−∞, 7]
- Represente graficamente: [−2, 3]
- Qual é a união dos intervalos (−∞, 0) e [4, ∞)?
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