2ª Fase — Questão 01 | Polinômios • Resto da divisão • Raízes complexas
Encontre os valores reais \(a\) e \(b\) tais que o polinômio
\[ p(x)=x^{57}+a\,x^{14}+b\,x^{7}+1, \]ao ser dividido por \(x^2-x+1\), deixe resto \(2x+1\).
👀 Solução passo a passo
1) Raízes do divisor e condição de resto
As raízes de \(x^2-x+1=0\) são \(r=\dfrac{1\pm i\sqrt{3}}{2}=e^{\pm i\pi/3}\). Se o resto é \(R(x)=2x+1\), então \[ p(r)=R(r)=2r+1\quad\text{para cada raiz }r. \]
2) Redução de potências (módulo 6)
Como \(r^6=1\) (raiz 6-ésima da unidade) e \(r^2=r-1\) (da própria equação):
\[ r^{57}=r^{6\cdot 9+3}=r^3=-1,\quad r^{14}=r^{6\cdot 2+2}=r^2,\quad r^{7}=r. \]Logo \[ p(r)=(-1)+a\,r^2+b\,r+1=a\,r^2+b\,r. \]
3) Igualar a \(2r+1\) e resolver \(a,b\)
Usando \(r^2=r-1\):
\[ a(r-1)+br=2r+1 \ \Longrightarrow\ (a+b-2)\,r= a+1. \]Como \(r\notin\mathbb{R}\), a igualdade só é possível se os dois lados forem nulos:
\[ \begin{cases} a+b-2=0,\\[2pt] a+1=0. \end{cases} \ \Longrightarrow\ a=-1,\quad b=3. \]4) Conferência rápida
Com \(a=-1,b=3\): \(p(r)=(-1)r^2+3r=-(r-1)+3r=2r+1\), como pedido.
Resposta: \(a=-1,\quad b=3.\)
