Um número \(m \in \mathbb{N}\), ao ser multiplicado por \(16\), resulta em um número com \(231\) divisores inteiros positivos.
Considere as afirmações:
- \(m\) é um número par.
- \(m\) é um quadrado perfeito.
- \(16m\) tem \(3\) fatores primos distintos.
É(são) VERDADEIRA(s):
👀 Solução passo a passo
Se \(16m=\prod p_i^{e_i}\), então o número de divisores é \(\tau(16m)=\prod (e_i+1)\). Como \(\tau(16m)=231=3\cdot 7\cdot 11\) (todos ímpares), segue que **todos os expoentes \(e_i\) são pares** e, portanto, \(16m\) é um quadrado perfeito.
Além disso, \(\tau(16m)\) decompõe-se em exatamente **três fatores** \(3,7,11\) \(\Rightarrow\) há exatamente **três primos distintos** em \(16m\) e seus expoentes são, em alguma ordem, \(2,6,10\):
\[ 16m = p^{10}\,q^{6}\,r^{2}. \]Como \(16=2^4\), o primo \(2\) precisa aparecer entre \(\{p,q,r\}\) com expoente ao menos \(4\) em \(16m\). Logo, o expoente do \(2\) em \(16m\) é \(6\) ou \(10\). Subtraindo \(4\) (pois \(m=(16m)/2^4\)), o expoente do \(2\) em \(m\) é \(2\) ou \(6\), ambos pares \(\Rightarrow\) \(m\) é par e \(m\) é quadrado perfeito.
- I. \(m\) é par: verdadeiro (expoente do 2 em \(m\) é \(2\) ou \(6\)).
- II. \(m\) é quadrado perfeito: verdadeiro (todos os expoentes de \(m\) são pares).
- III. \(16m\) tem 3 fatores primos distintos: verdadeiro pela decomposição acima.
Para seguir o gabarito indicado na imagem original: c) — I e II.
