Logaritmo do Radical
Chamamos de logaritmo do radical a regra que transforma o logaritmo de uma raiz em um múltiplo do logaritmo do radicando. É muito usada para linearizar expressões e resolver equações logarítmicas.
Enunciado (definição)
\( \displaystyle \log_a\!\big(\sqrt[n]{b}\big) \;=\; \log_a\!\big(b^{1/n}\big) \;=\; \frac{1}{n}\,\log_a b \quad \text{(com } a>0,\; a\neq1,\; b>0,\; n\in\mathbb{N}^*\text{)}\).
Por que funciona?
Porque \( \sqrt[n]{b}=b^{1/n} \). Em seguida aplica-se a propriedade da potência: \( \log_a(b^{k})=k\,\log_a b \) (com \(k=\tfrac{1}{n}\)).
Exemplos resolvidos
Exemplo 1 — \( \log_{2}\!\big(\sqrt{16}\big) \)
\( \sqrt{16}=16^{1/2} \Rightarrow \log_{2}(\sqrt{16})=\tfrac{1}{2}\log_{2}16 =\tfrac{1}{2}\cdot 4=\mathbf{2}. \)
Exemplo 2 — \( \log_{3}\!\big(\sqrt[3]{27}\big) \)
\( \sqrt[3]{27}=27^{1/3}\Rightarrow \log_{3}(\sqrt[3]{27})=\tfrac{1}{3}\log_{3}27 =\tfrac{1}{3}\cdot 3=\mathbf{1}. \)
Exemplo 3 — \( \log_{5}\!\big(\sqrt[4]{125}\big) \)
\( \sqrt[4]{125}=125^{1/4}\Rightarrow \log_{5}(\sqrt[4]{125}) =\tfrac{1}{4}\log_{5}125=\tfrac{1}{4}\cdot 3=\mathbf{\tfrac{3}{4}}. \)
Exercícios de múltipla escolha
1) \( \log_{5}\!\big(\sqrt{25}\big)= \)
- a) \(1\)
- b) \(2\)
- c) \(\tfrac{1}{2}\)
- d) \(5\)
Ver solução
\( \log_{5}(\sqrt{25})=\tfrac{1}{2}\log_{5}25=\tfrac{1}{2}\cdot 2=\mathbf{1} \). Alternativa a.
2) \( \log_{4}\!\big(\sqrt[3]{64}\big)= \)
- a) \(1\)
- b) \(\tfrac{4}{3}\)
- c) \(\tfrac{3}{2}\)
- d) \(2\)
Ver solução
\( \sqrt[3]{64}=64^{1/3}=4 \Rightarrow \log_{4}(\sqrt[3]{64})=\log_{4}4=\mathbf{1} \). Alternativa a.
3) \( \log_{2}\!\big(\sqrt[4]{16}\big)= \)
- a) \(\tfrac{1}{2}\)
- b) \(1\)
- c) \(2\)
- d) \(4\)
Ver solução
\( \sqrt[4]{16}=16^{1/4}=2 \Rightarrow \log_{2}(\sqrt[4]{16})=\log_{2}2=\mathbf{1} \). Alternativa b.
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