7. Lógica de Predicados
A Lógica de Predicados é uma extensão da Lógica Proposicional e introduz conceitos como variáveis, quantificadores e relações. Enquanto a lógica proposicional trabalha com proposições simples e compostas, a lógica de predicados permite analisar sentenças mais complexas, generalizando relações e afirmativas.
7.1 Predicados e Variáveis
- Predicado: Representa uma propriedade ou uma relação entre elementos. É uma função que pode ser verdadeira ou falsa dependendo do valor da variável.
- Exemplo: “x é maior que 5” → P(x), onde PP é o predicado e x é a variável.
- Variável: Representa um elemento que pode assumir diferentes valores dentro de um conjunto.
- Exemplo: Na proposição “João é alto”, “João” pode ser substituído por x, e a proposição se torna A(x), onde A é o predicado.
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7.2 Quantificadores
Os quantificadores indicam a quantidade de elementos que satisfazem um determinado predicado. Existem dois tipos principais:
Quantificador Universal (∀) – “Para todo” ou “Todos”
Representa que o predicado é verdadeiro para todos os elementos de um conjunto.
Símbolo: ∀x
Exemplo: “Todos os números naturais são maiores que -1.”
Em lógica de predicados:
∀x P(x), onde P(x): “x eˊ maior que -1”.
Quantificador Existencial (∃) – “Existe pelo menos um”
Representa que o predicado é verdadeiro para pelo menos um elemento de um conjunto.
Símbolo: ∃x
Exemplo: “Existe um número par que é primo.”
Em lógica de predicados:
∃x P(x), onde P(x): “x eˊ par e primo”.
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7.3 Relação entre Quantificadores e Negação
A negação de uma proposição que contém quantificadores segue regras importantes:
Negação do Quantificador Universal (∀)
A negação de “Para todo x, P(x)” é “Existe pelo menos um x tal que ¬P(x))”.
- Em símbolos: ¬(∀x P(x)) ≡ ∃x ¬P(x)
Proposição original: “Todos os alunos passaram na prova.”
Negação: “Existe pelo menos um aluno que não passou na prova.”
Negação do Quantificador Existencial (∃)
A negação de “Existe pelo menos um x tal que P(x)” é “Para todo x, ¬P(x)”.
- Em símbolos: ¬(∃x P(x)) ≡ ∀x ¬P(x)
Proposição original: “Existe um número maior que 10.”
Negação: “Todos os números são menores ou iguais a 10.”
7.4 Exemplos de Lógica de Predicados
Exemplo 1: Proposição Universal
Proposição: “Todo número par é divisível por 2.”
- Variável: x (número par).
- Predicado: P(x): x é divisível por 2.
- Em símbolos: ∀x P(x).
Exemplo 2: Proposição Existencial
Proposição: “Existe um número maior que 100.”
- Variável: x (número).
- Predicado: P(x): x > 100.
- Em símbolos: ∃x P(x).
Exemplo 3: Negação com Quantificadores
Proposição original: “Todos os carros são vermelhos.”
- Em símbolos: ∀x C(x), onde C(x): “x é vermelho”.
Negação: “Existe pelo menos um carro que não é vermelho.”
- Em símbolos: ¬(∀x C(x)) ≡ ∃x ¬C(x).
7.5 Relações e Predicados Compostos
Os predicados podem ser compostos utilizando conectivos lógicos (E, OU, SE…ENTÃO, SE E SOMENTE SE), como na lógica proposicional.
Exemplo:
Proposição: “Para todo número xx, se xx é par, então xx é divisível por 2.”
- Variável: x.
- Predicado 1: P(x): x é par.
- Predicado 2: Q(x): x é divisível por 2.
- Em símbolos: ∀x (P(x)→Q(x))
7.6 Exercícios de Aplicação
Exemplo 1: Traduza para símbolos lógicos a frase:
“Existe um estudante que passou em Matemática e Física.”
Resolução:
- Variável: x (estudante).
- Predicado 1: M(x): x passou em Matemática.
- Predicado 2: F(x): x passou em Física.
- Em símbolos: ∃x (M(x)∧F(x))
Exemplo 2: Negue a proposição:
“Todo número positivo é maior que zero.”
Resolução:
- Proposição original: ∀x P(x), onde P(x): x > 0.
- Negação: “Existe pelo menos um número positivo que não é maior que zero.”
- Em símbolos: ¬(∀x P(x)) ≡ ∃x ¬P(x)
Conclusão
A lógica de predicados amplia o estudo da lógica proposicional ao introduzir variáveis, predicados e quantificadores. Ela é essencial para representar e analisar proposições mais complexas, permitindo resolver questões de raciocínio lógico de forma rigorosa e eficiente. Praticar com exemplos variados é fundamental para o domínio desse tópico.
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