Números Figurados Avançados — Pentagonais, Hexagonais e Outros
O que são números figurados
Números figurados são números que podem ser representados por pontos organizados em figuras geométricas regulares. Os mais conhecidos são triangulares e quadrados, mas existem diversos outros, como pentagonais, hexagonais, heptagonais e até de ordens superiores.
Números pentagonais
Os números pentagonais são definidos pela fórmula:
Primeiros termos: 1, 5, 12, 22, 35, 51…
Números hexagonais
Os números hexagonais são dados por:
Primeiros termos: 1, 6, 15, 28, 45, 66…
Números heptagonais
Os números heptagonais seguem a fórmula:
Primeiros termos: 1, 7, 18, 34, 55, 81…
Relações entre figurados
- Todos os números hexagonais também são triangulares.
- Alguns pentagonais coincidem com triangulares, como \(P_3=12\).
- Sequências figuradas são estudadas por meio de progressões quadráticas.
Aplicações práticas
Os números figurados aparecem em:
- Modelos geométricos e arquitetônicos;
- Arranjos moleculares em química e física;
- Distribuições simétricas em análise combinatória.
Exemplos resolvidos
Exemplo 1 — Calcular \(P_5\)
Solução
\(P_5=\dfrac{3(5)^2-5}{2}=\dfrac{75-5}{2}=35\).
Exemplo 2 — Calcular \(H_4\)
Solução
\(H_4=2(4)^2-4=32-4=28\).
Exemplo 3 — Relação entre figurados
Solução
Todo número hexagonal \(H_n\) também pode ser escrito como triangular: \(H_n=T_{2n-1}\).
Exercícios propostos
- Liste os 6 primeiros números pentagonais.
- Calcule \(H_7\).
- Mostre que \(H_n=T_{2n-1}\).
- Determine o menor número hexagonal maior que 100.
- Prove que \(P_n=\dfrac{3n^2-n}{2}\).
Gabarito
1) 1, 5, 12, 22, 35, 51.
2) \(H_7=2(7)^2-7=98-7=91\).
3) Usar fórmula dos triangulares: \(T_k=\dfrac{k(k+1)}{2}\) ⇒ substitua \(k=2n-1\).
4) Resolva \(2n^2-n>100\) ⇒ \(n=8\) ⇒ \(H_8=120\).
5) Montar progressão aritmética da borda do pentágono e somar os termos.
Leituras relacionadas
Resumo e materiais
- ✔ Fórmulas para números pentagonais, hexagonais e heptagonais
- ✔ Relações entre figurados e triangulares
- ✔ Aplicações geométricas e combinatórias
- ✔ Exercícios resolvidos e propostos
