A Permutação com Repetição aparece quando vamos organizar n elementos, mas alguns deles se repetem. É o caso clássico dos anagramas de palavras com letras iguais (como “MONITOR”, que tem duas letras O).
Esse assunto é parte essencial da Análise Combinatória e costuma cair muito no ENEM Matemática e em concursos.
O que é Permutação com Repetição?
Em uma permutação, nós usamos todos os elementos para formar uma ordem. Quando não há repetição, usamos a permutação simples. Mas quando existem elementos iguais, várias “trocas” não geram uma ordem nova — e por isso precisamos dividir.
Exemplo rápido: Na palavra “ANA”, trocar as letras A de lugar não muda a palavra. Isso cria repetições na contagem.
Fórmula da Permutação com Repetição
Se há n elementos no total e eles se repetem em grupos de tamanhos \(n_1, n_2, \dots, n_k\), então:
O fatorial aparece naturalmente (e você pode revisar em Fatorial), e a lógica é: “conta tudo como se fosse diferente” e depois “corrige” as trocas inúteis dos repetidos.
Quando usar?
Use Permutação com Repetição quando:
- você utiliza todos os elementos (é permutação);
- existem elementos repetidos (letras iguais, dígitos repetidos, itens idênticos);
- trocar iguais não cria uma nova ordem.
Sequência eficiente de estudo (com backlinks):
Princípio Fundamental da Contagem → Fatorial → Arranjo Simples / Arranjo com Repetição → Permutação Simples → Permutação com Repetição → Combinação Simples → Número Binomial / Triângulo de Pascal.
Exemplos resolvidos (para entender de verdade)
Exemplo 1: Quantos anagramas tem a palavra “ANA”?
Ver solução
A palavra tem \(n=3\) letras, com repetição: A aparece \(2\) vezes e N aparece \(1\) vez.
\[ P=\frac{3!}{2!\,1!}=\frac{6}{2}=3 \]Resposta: \(\boxed{3}\) (ANA, AAN, NAA).
Exemplo 2: Quantos números distintos podem ser formados permutando os algarismos de 112?
Ver solução
Temos \(n=3\) algarismos e o número 1 se repete \(2\) vezes.
\[ P=\frac{3!}{2!}=3 \]Resposta: \(\boxed{3}\) (112, 121, 211).
Exercícios (da imagem) — Enunciado + solução no abre e fecha
Exercício 1 — Anagramas de palavras
Determine quantos anagramas tem cada palavra:
Ver enunciado e solução
a) MONITOR
MONITOR tem \(n=7\) letras, com repetição: O aparece \(2\) vezes.
\[ P=\frac{7!}{2!}=\frac{5040}{2}=2520 \]Resposta: \(\boxed{2520}\).
b) AMERICANA
AMERICANA tem \(n=9\) letras, com repetição: A aparece \(3\) vezes.
\[ P=\frac{9!}{3!}=\frac{362880}{6}=60480 \]Resposta: \(\boxed{60480}\).
c) LIBERTADOR
LIBERTADOR tem \(n=10\) letras, com repetição: R aparece \(2\) vezes.
\[ P=\frac{10!}{2!}=\frac{3628800}{2}=1814400 \]Resposta: \(\boxed{1814400}\).
d) CALCULADORA
CALCULADORA tem \(n=11\) letras, com repetições: A aparece \(3\) vezes, C aparece \(2\) vezes e L aparece \(2\) vezes.
\[ P=\frac{11!}{3!\,2!\,2!}=\frac{39916800}{24}=1663200 \]Resposta: \(\boxed{1663200}\).
Exercício 2 — Problema criado com \(P^{(4,2,2)}_8\)
Elabore um problema que, para ser respondido, seja necessário usar a permutação com repetição \(P^{(4,2,2)}_8\). Entregue a um colega para ele resolver e, depois, confira.
Ver orientação (e um exemplo opcional)
Este exercício é aberto: o enunciado e a resposta final dependem do problema criado.
Exemplo de problema (opcional):
“Quantas sequências diferentes podem ser formadas com 8 fichas, sendo 4 fichas iguais do tipo A, 2 fichas iguais do tipo B e 2 fichas iguais do tipo C?”
Nesse caso, a resposta é:
\[ P=\frac{8!}{4!\,2!\,2!}=\frac{40320}{24\cdot 2\cdot 2}=420 \]Se o aluno criar outro contexto (letras, cores, símbolos), o valor ainda será o mesmo se as repetições forem (4,2,2).
Exercício 3 — Soluções naturais de \(x+y+z+w=6\)
Sendo \(x, y, z, w\) números naturais, quantas soluções possui a equação \(x+y+z+w=6\)?
Ver solução
Interpretando naturais como incluindo o zero (padrão em muitos exercícios de contagem), estamos contando soluções não negativas.
Pelo método das “estrelas e barras”, o número de soluções de \(x+y+z+w=6\) é:
\[ \binom{6+4-1}{4-1}=\binom{9}{3}=84 \]Resposta: \(\boxed{84}\).
Exercício 4 — Permutações dos algarismos de 125612
Permutando os algarismos do número 125612, quantos números: (a) são obtidos? (b) pares são obtidos? (c) menores que 400000 são obtidos?
Ver solução
Os dígitos são: \(1,1,2,2,5,6\). Temos \(n=6\) com repetições: 1 aparece 2 vezes e 2 aparece 2 vezes.
(a) Total de números distintos
\[ P=\frac{6!}{2!\,2!}=\frac{720}{4}=180 \]Resposta: \(\boxed{180}\).
(b) Quantos são pares?
Um número é par se termina em 2 ou 6.
• Terminando em 6: sobram \(1,1,2,2,5\) → \( \frac{5!}{2!\,2!}=30\).
\[ \frac{5!}{2!\,2!}=30 \]• Terminando em 2: fixa um 2 no final e sobram \(1,1,2,5,6\) → \( \frac{5!}{2!}=60\).
\[ \frac{5!}{2!}=60 \]Total de pares:
\[ 30+60=90 \]Resposta: \(\boxed{90}\).
(c) Quantos são menores que 400000?
Para ser menor que 400000, o primeiro algarismo deve ser 1 ou 2 (não temos 0 nem 3).
• Começando com 1: sobram \(1,2,2,5,6\) → \( \frac{5!}{2!}=60\).
\[ \frac{5!}{2!}=60 \]• Começando com 2: sobram \(1,1,2,5,6\) → \( \frac{5!}{2!}=60\).
\[ \frac{5!}{2!}=60 \]Total menores que 400000:
\[ 60+60=120 \]Resposta: \(\boxed{120}\).
Conexões importantes (para avançar)
Muitas questões misturam permutação com repetição com outras ideias: por exemplo, organizar resultados “por etapas” usando o Princípio Fundamental da Contagem, comparar com combinação, ou interpretar coeficientes em número binomial e no Triângulo de Pascal.
Se quiser uma visão “pilar”, com vários exemplos e listas, acesse: Análise Combinatória — Guia Completo .
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