Pirâmides (Geometria Espacial)
Definição, elementos, fórmulas de área e volume, planificação, exemplos resolvidos (contas na vertical) e exercícios.
1) O que é uma pirâmide?
É um poliedro formado por um polígono de base e por faces laterais triangulares que se encontram em um único vértice. A altura \(h\) é a distância perpendicular do vértice ao plano da base.
Quando a base é um polígono regular e o vértice está sobre o centro da base, temos uma pirâmide regular (faces laterais congruentes).
Compare com os prismas regulares e relembre a Fórmula de Euler.
2) Tipos comuns
- Pirâmide triangular (base triângulo) — 4 faces. Relacione com prisma triangular.
- Pirâmide quadrangular (base quadrada) — 5 faces.
- Pirâmide pentagonal, hexagonal, … (base com 5, 6, … lados).
- Regular (reta) × oblíqua (vértice deslocado).
3) Elementos e notação (regular)
- \(n\): número de lados da base; \(a\): lado; \(p=n\cdot a\) (perímetro); \(A_b\): área da base.
- \(h\): altura (vértice → plano da base).
- \(g\): apótema lateral (altura de cada face triangular).
4) Fórmulas essenciais
Bases regulares mais usadas
Precisa revisar áreas de polígonos? Veja área de triângulo e triângulos semelhantes.
5) Planificação
É composta por 1 base (o polígono) e n triângulos (faces laterais) de base igual aos lados do polígono e altura \(g\). Para técnicas de recorte, compare com planificação do prisma hexagonal e do prisma pentagonal.
6) Estratégia de resolução
- Identifique a base (regular ou não) e levante \(a,p,A_b,h,g\).
- Escolha: \(A_L\), \(A_T\) ou \(V\).
- Se faltar \(h\) ou \(g\), use triângulos retângulos (Pitágoras).
- Conferir unidades; lembrar \(1\,\text{L}=1000\,\text{cm}^3\).
7) Exemplos resolvidos
Exemplo 1 — Volume de base quadrada
Situação-problema. Uma pirâmide regular de base quadrada tem lado \(a=10\,\text{cm}\) e altura \(h=18\,\text{cm}\). Calcule o volume.
Ver solução
Exemplo 2 — Área total de base triangular
Situação-problema. Uma pirâmide regular tem base equilátera de lado \(a=12\,\text{cm}\) e apótema lateral \(g=15\,\text{cm}\). Calcule a área total.
Ver solução
Exemplo 3 — Encontrando a altura a partir de \(g\)
Situação-problema. Numa pirâmide regular de base quadrada, o lado é \(a=8\,\text{cm}\) e o apótema lateral é \(g=13\,\text{cm}\). Calcule a altura \(h\).
Ver solução
8) Exercícios propostos
- Pirâmide quadrangular: \(a=6\text{ cm}\), \(h=10\text{ cm}\). Calcule o volume.
- Pirâmide triangular regular: \(a=9\text{ cm}\), \(g=12\text{ cm}\). Calcule \(A_L\) e \(A_T\).
- Pirâmide pentagonal regular: \(a=5\text{ cm}\), apótema da base \(r=3{,}4\text{ cm}\), \(h=14\text{ cm}\). Calcule o volume.
- Pirâmide quadrada: \(a=10\text{ cm}\) e \(A_L=260\text{ cm}^2\). Encontre \(g\).
- Projeto: pirâmide quadrada com \(a=7\text{ cm}\), \(g=11\text{ cm}\). Calcule a área da planificação (sem abas).
- Pirâmide hexagonal regular: \(a=4\text{ cm}\), \(g=10\text{ cm}\), \(h=9\text{ cm}\). Calcule \(A_T\) e \(V\).
- Uma pirâmide quadrada tem \(V=480\text{ cm}^3\) e \(h=15\text{ cm}\). Encontre \(a\).
- Pirâmide triangular regular: \(a=10\text{ cm}\), \(h=20\text{ cm}\). Dê o volume em litros.
- Custo: pirâmide quadrada \(a=9\text{ cm}\), \(g=13\text{ cm}\). Pintar apenas faces laterais a R$ 75,00/m². Qual o custo?
- Mostre que, com mesma base e altura, \(V_{\text{prisma}}=3\cdot V_{\text{pirâmide}}\).
