Planificação do Prisma hexagonal
Veja como construir a rede (net) do prisma hexagonal, quais dimensões usar na faixa lateral, como calcular a área da chapa com ou sem aba, além de exemplos resolvidos e exercícios.
1) O que é a planificação?
Planificar um sólido é “abrir” suas faces num único plano, obtendo um desenho que, ao ser recortado e dobrado, reconstrói o sólido original. Para o prisma hexagonal, a planificação é formada por:
- uma faixa retangular de dimensões \(p\times h\), subdividida em 6 retângulos (um para cada face lateral);
- duas bases hexagonais congruentes.
Relembre a geometria do prisma na página Prismas regulares e a visão geral de poliedros.
2) Como construir a planificação
- Desenhe a faixa lateral de largura \(h\) (altura do prisma).
- Defina o comprimento da faixa como o perímetro da base \(p\). Para base regular (lado \(a\)), \(p=6a\).
- Divida a faixa em 6 retângulos, cada um com largura igual ao lado correspondente do hexágono.
- Acople as duas bases: uma na “terceira” ou “quarta” face para facilitar a montagem, e a outra na face oposta.
- Se for colar, acrescente uma aba de largura \(w\) (geralmente 1 cm) ao longo de uma aresta lateral.
Para comparar, veja também a planificação do prisma pentagonal e a planificação do paralelepípedo.
3) Fórmulas úteis para a chapa
Base hexagonal regular (lado \(a\))
Para calcular \(A_b\) por decomposição em triângulos, consulte Área de triângulo.
4) Exemplos resolvidos
Exemplo 1 — Área da planificação (sem abas)
Situação-problema. Deseja-se planificar um prisma hexagonal regular com lado \(a=5\ \text{cm}\) e altura \(h=12\ \text{cm}\). Calcule a área da chapa (faixa + 2 bases), sem abas.
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Exemplo 2 — Planificação com aba de 1 cm
Situação-problema. Para o mesmo prisma do Exemplo 1, será usada uma aba de largura \(w=1\ \text{cm}\) ao longo de toda a altura. Qual a área total de papel?
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Exemplo 3 — Custo da planificação
Situação-problema. Um totem em forma de prisma hexagonal regular tem \(a=6\ \text{cm}\) e \(h=20\ \text{cm}\). A planificação terá uma aba de \(w=1\ \text{cm}\). O papel custa R$ 45,00/m². Qual o custo da chapa?
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5) Dicas para recorte e montagem
- Vinco: trace levemente as linhas internas (sem cortar) para dobras limpas.
- Posição das bases: fixe uma base no 3º ou 4º retângulo; a outra no retângulo oposto.
- Aba: cole por dentro; 1 cm costuma ser suficiente.
- Escala: ao ampliar em \(k\), áreas multiplicam por \(k^2\) e os comprimentos por \(k\).
6) Exercícios propostos
- (Regular) \(a=4\ \text{cm}\), \(h=15\ \text{cm}\). Calcule a área da planificação sem abas.
- (Regular) \(a=7\ \text{cm}\), \(h=18\ \text{cm}\) e aba \(w=1{,}5\ \text{cm}\). Calcule a área total da chapa.
- (Custo) \(a=5\ \text{cm}\), \(h=20\ \text{cm}\), \(w=1\ \text{cm}\); preço: R$ 52,00/m². Qual é o custo?
- (Escala) Uma planificação calculada para \(a=6\ \text{cm}\), \(h=12\ \text{cm}\) foi ampliada em \(k=1{,}3\). Por quanto multiplicar a área?
- (Comparação) Para \(a=5\ \text{cm}\), compare a largura total da faixa do prisma hexagonal com a do prisma pentagonal de mesmo lado e altura.
