Potência com Expoente Racional
As potências com expoente racional são uma forma de representar operações que envolvem raízes e potências simultaneamente. Quando o expoente é uma fração, utilizamos a seguinte definição:
Se \( a \) é um número real positivo, \( m \) é inteiro e \( n \) é natural não nulo, define-se:
$$ a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m} $$
📌 Exemplos
a) \( 5^{\frac{1}{2}} = \sqrt{5} \)
b) \( 13^{\frac{2}{5}} = \sqrt[5]{13^2} \)
c) \( \sqrt{21} = 21^{\frac{1}{2}} \)
d) \( \sqrt[4]{16^3} = 16^{\frac{3}{4}} \)
💡 Observação Importante
As potências com expoente racional seguem as mesmas propriedades das potências com expoente inteiro:
$$ 8^{\frac{4}{3}} = \left(8^{\frac{1}{3}}\right)^4 = \left(\sqrt[3]{8}\right)^4 = 2^4 = 16 $$
🧪 Exercícios Resolvidos
📌 Ex. 1: Calcule \( 27^{\frac{2}{3}} \)
$$ 27^{\frac{2}{3}} = \left(\sqrt[3]{27}\right)^2 = 3^2 = 9 $$
📌 Ex. 2: Calcule \( 81^{\frac{3}{4}} \)
$$ 81^{\frac{3}{4}} = \left(\sqrt[4]{81}\right)^3 = 3^3 = 27 $$
📌 Ex. 3: Reescreva \( \sqrt[5]{x^3} \) como potência
$$ \sqrt[5]{x^3} = x^{\frac{3}{5}} $$
📌 Ex. 4: Calcule \( 16^{-\frac{3}{4}} \)
$$ 16^{-\frac{3}{4}} = \frac{1}{16^{\frac{3}{4}}} = \frac{1}{(\sqrt[4]{16})^3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8} $$
