Uma distribuidora comprou \( x \) unidades de barris de petróleo, por R$ 415 o barril, e \( y \) unidades de \( m^3 \) de gás, por R$ 2 o \( m^3 \), pagando um valor total de R$ 23.695.000. A quantidade de unidades dos dois produtos comprados totalizou 490.000 unidades.
Acerca dessa situação hipotética, julgue os itens a seguir.
30. Se houver dois aumentos sucessivos de 10% projetados para o preço do barril de petróleo para cada um dos próximos dois meses, então esse preço, daqui a dois meses, será inferior a R$ 500.
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Entendendo o enunciado:
O preço atual do barril de petróleo é R$ 415.
Serão aplicados dois aumentos sucessivos de 10%.
Queremos saber se, após esses aumentos, o preço será inferior a R$ 500.
Aplicando o primeiro aumento de 10%:
\[ P_1 = 415 \cdot 1{,}10 = 456{,}50 \]
Aplicando o segundo aumento de 10% sobre o novo valor:
\[ P_2 = 456{,}50 \cdot 1{,}10 = 502{,}15 \]
Conclusão: Após os dois aumentos sucessivos de 10%, o preço do barril será de R$ 502,15. Portanto, a afirmativa está errada, pois esse valor é superior a R$ 500.
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31. A inversa da matriz dos coeficientes \[ C = \begin{bmatrix} 415 & 1 \\ 1 & 2 \end{bmatrix} \] é dada por \[ C^{-1} = \begin{bmatrix} 1 & -2 \\ -1 & 415 \end{bmatrix}. \]
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Entendendo o enunciado:
A matriz dos coeficientes é: \[ C = \begin{bmatrix} 415 & 1 \\ 1 & 2 \end{bmatrix} \] E a questão afirma que sua inversa é: \[ C^{-1} = \begin{bmatrix} 1 & -2 \\ -1 & 415 \end{bmatrix} \] Vamos verificar se essa inversa está correta.
Fórmula da inversa de uma matriz 2×2:
Para a matriz \[ A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}, \quad A^{-1} = \frac{1}{ad – bc} \cdot \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix} \]
Aplicando à matriz \( C \):
\[ a = 415,\quad b = 1,\quad c = 1,\quad d = 2 \] \[ \det(C) = ad – bc = 415 \cdot 2 – 1 \cdot 1 = 830 – 1 = 829 \]
Assim, a inversa de \( C \) é: \[ C^{-1} = \frac{1}{829} \cdot \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 415 \end{bmatrix} \]
Comparando com a matriz fornecida:
A questão afirma que a inversa é: \[ \begin{bmatrix} 1 & -2 \\ -1 & 415 \end{bmatrix} \] Esta matriz não corresponde à inversa correta calculada acima.
Conclusão: A afirmativa está errada. A matriz apresentada não é a inversa de \( C \).
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32. A distribuidora comprou 435.000 \( m^3 \) de gás.
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Entendendo o problema:
A distribuidora comprou:
- \( x \) barris de petróleo a R$ 415 cada;
- \( y \) metros cúbicos de gás a R$ 2 cada.
Informações do enunciado:
\[
\begin{cases}
x + y = 490.000 \\
415x + 2y = 23.695.000
\end{cases}
\]
Resolvendo o sistema:
Da primeira equação: \( x = 490.000 – y \)
Substituindo na segunda:
\[ 415(490.000 – y) + 2y = 23.695.000 \] \[ 203.350.000 – 415y + 2y = 23.695.000 \] \[ -413y = 23.695.000 – 203.350.000 = -179.655.000 \] \[ \Rightarrow y = \frac{179.655.000}{413} = 435.000 \]
Conclusão: A afirmativa está correta. A distribuidora comprou exatamente 435.000 m³ de gás.
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