Redução ao 1º Quadrante: 2º, 3º e 4º

Esquema geral de redução ao 1º quadrante — Visão geral: como escrever um ângulo de qualquer quadrante em função do ângulo de referência no 1º quadrante.

Reduzir um ângulo \(\theta\) a um ângulo de referência \( \alpha \in (0,\tfrac{\pi}{2}) \) simplifica o cálculo de \(sen\theta\) e \(\cos\theta\). Abaixo você encontra, para cada quadrante, a imagem de apoio e os exemplos com as **contas alinhadas verticalmente**.

2º quadrante → 1º

Redução do 2º ao 1º quadrante — \(\theta=\pi-\alpha\): \(sen(\pi-\alpha)=sen\alpha\) e \(\cos(\pi-\alpha)=-\cos\alpha\).

Exemplo (em graus)

Calcule \(sen(150^\circ)\) e \(\cos(150^\circ)\).

\[ \begin{aligned} 150^\circ &= 180^\circ – 30^\circ \\ sen(150^\circ) &= sen(30^\circ) = \tfrac{1}{2} \\ \cos(150^\circ) &= -\cos(30^\circ) = -\tfrac{\sqrt{3}}{2} \end{aligned} \]

3º quadrante → 1º

Redução do 3º ao 1º quadrante — \(\theta=\pi+\alpha\): \(sen(\pi+\alpha)=-sen\alpha\) e \(\cos(\pi+\alpha)=-\cos\alpha\).

Exemplo (em radianos)

Calcule \(sen\!\left(\tfrac{7\pi}{6}\right)\) e \(\cos\!\left(\tfrac{7\pi}{6}\right)\).

\[ \begin{aligned} \tfrac{7\pi}{6} &= \pi + \tfrac{\pi}{6} \\ sen\!\left(\tfrac{7\pi}{6}\right) &= -sen\!\left(\tfrac{\pi}{6}\right) = -\tfrac{1}{2} \\ \cos\!\left(\tfrac{7\pi}{6}\right) &= -\cos\!\left(\tfrac{\pi}{6}\right) = -\tfrac{\sqrt{3}}{2} \end{aligned} \]

4º quadrante → 1º

Redução do 4º ao 1º quadrante — \(\theta=2\pi-\alpha\): \(sen(2\pi-\alpha)=-sen\alpha\) e \(\cos(2\pi-\alpha)=\cos\alpha\).

Exemplo (em graus)

Calcule \(sen(330^\circ)\) e \(\cos(330^\circ)\).

\[ \begin{aligned} 330^\circ &= 360^\circ – 30^\circ \\ sen(330^\circ) &= -sen(30^\circ) = -\tfrac{1}{2} \\ \cos(330^\circ) &= \cos(30^\circ) = \tfrac{\sqrt{3}}{2} \end{aligned} \]

Exercícios rápidos

1) \(\cos(120^\circ)=\)

Ver solução

\[ \begin{aligned} 120^\circ &= 180^\circ – 60^\circ \\ \cos(120^\circ) &= -\cos(60^\circ) \\ &= -\tfrac{1}{2} \end{aligned} \]

2) \(sen\!\left(\tfrac{11\pi}{6}\right)=\)

Ver solução

\[ \begin{aligned} \tfrac{11\pi}{6} &= 2\pi – \tfrac{\pi}{6} \\ sen\!\left(\tfrac{11\pi}{6}\right) &= -sen\!\left(\tfrac{\pi}{6}\right) \\ &= -\tfrac{1}{2} \end{aligned} \]

3) \(\cos\!\left(\tfrac{7\pi}{6}\right)=\)

Ver solução

\[ \begin{aligned} \tfrac{7\pi}{6} &= \pi + \tfrac{\pi}{6} \\ \cos\!\left(\tfrac{7\pi}{6}\right) &= -\cos\!\left(\tfrac{\pi}{6}\right) \\ &= -\tfrac{\sqrt{3}}{2} \end{aligned} \]

📝 Exercícios de múltipla escolha

Exercício 1. Calcule \(sen(150^\circ)\).

A) \(-\tfrac{\sqrt{3}}{2}\)
B) \(-\tfrac{1}{2}\)
C) \(\tfrac{1}{2}\)
D) \(\tfrac{\sqrt{3}}{2}\)
E) \(1\)

Ver solução

\[ \begin{aligned} 150^\circ &= 180^\circ – 30^\circ \\ sen(150^\circ) &= sen(30^\circ) = \tfrac{1}{2} \end{aligned} \]

Resposta correta: C

Exercício 2. O valor de \(\cos\!\left(\tfrac{7\pi}{6}\right)\) é:

A) \(-\tfrac{\sqrt{3}}{2}\)
B) \(-\tfrac{1}{2}\)
C) \(\tfrac{1}{2}\)
D) \(\tfrac{\sqrt{3}}{2}\)
E) \(0\)

Ver solução

\[ \begin{aligned} \tfrac{7\pi}{6} &= \pi + \tfrac{\pi}{6} \\ \cos\!\left(\tfrac{7\pi}{6}\right) &= -\cos\!\left(\tfrac{\pi}{6}\right) \\ &= -\tfrac{\sqrt{3}}{2} \end{aligned} \]

Resposta correta: A

Exercício 3. O valor de \(sen(330^\circ)\) é: