Luís Alberto pagou uma conta de R$101,00 na Agência dos Correios que fica mais perto de sua casa. Ele pagou com notas de R$1,00; R$5,00 e R$10,00 obtendo o total de 20 notas. Se o número de notas de R$10,00 foi o máximo possível, o número de notas de R$5,00 foi:
A) um número primo.
B) um divisor de 12.
C) uma potência de 3.
D) um múltiplo de 12.
E) um número divisível por 5.
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Chamaremos de A, B e C as quantidades de notas de R$10, R$5 e R$1, respectivamente, que Luís Alberto utilizou para efetuar o pagamento.
Portanto, o valor total pago por ele pode ser representado pela expressão
10A + 5B + 1C = 101
O enunciado diz que a quantidade total de notas é 20, ou seja
A + B + C = 20
Resumindo:
- 10A + 5B + 1C = 101
- A + B + C = 20
Isolando C na segunda equação, temos
C = 20 – A – B
Substituindo na primeira,
10A + 5B + (20 – A – B) = 101
10A – A + 5B – B = 101 – 20
9A + 4B = 81
Temos uma relação entre as quantidades de notas de R$10 e de R$5. A questão pergunta sobre as notas de R$5, logo, vamos isolar B:
4B = 81 – 9A
B = (81 – 9A) / 4
Devemos nos lembrar que A e B devem ser números inteiros (pois representam quantidades) e que A deve assumir o maior valor possível que satisfaça as demais condições.
– Para que B seja um inteiro, o resultado de (81 – 9A) deve ser um múltiplo de 4 e, portanto, um número par.
– Para que (81 – 9A) seja par, é necessário que 9A seja ímpar (ímpar – ímpar = par).
– Para que 9A seja ímpar, é necessário que A seja ímpar.
Logo, A é um número ímpar.
Assim, veremos quais o valores que A pode assumir, do maior pro menor. O primeiro que satisfazer todas as condições, será o número que procuramos.
- A deve ser menor que 10:
Se A fosse 10, então teríamos, no mínimo, R$106, pois deve haver pelo menos uma nota de R$5 e pelo menos uma de R$1.
Assim, teríamos
(10 * 10) + 5 + 1 = 106
O que excederia o valor de R$101.
Restam então os valores 9, 7, 5, 3 e 1.
- Se A fosse 9:
B = (81 – 9*9) / 4
B = (81 – 81) / 4
B = 0 / 4
B = 0
B não pode ser 0, pois tem que haver pelo menos uma nota de cada. Logo, A não pode ser 9.
- Se A fosse 7;
B = (81 – 9*7) / 4
B = (81 – 63) / 4
B = 18 / 4
B = 4,5
B deve ser um inteiro, logo, A não pode ser 7.
- Se A fosse 5:
B = (81 – 9*5) / 4
B = (81 – 45) / 4
B = 36 / 4
B = 9
Encontramos os valores que procurávamos:
A = 5
B = 9
B é 9, que é uma potência de 3 (9 = 3²).
Logo, a alternativa C está correta.
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