Sistemas lineares: processo prático
Este é um roteiro prático para resolver sistemas lineares em provas: como escolher o método, quando parametrizar e como checar o resultado. Conecte este guia com: método da adição, método da substituição, eliminação de Gauss, classificação (SPD, SI, SPI) e o que é “solução de um sistema”.
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Passo a passo de adição, substituição, Gauss/Gauss–Jordan, Regra de Cramer, critérios SPD–SI–SPI e formas paramétricas. Ideal para revisão pré-prova.
Checklist em 6 passos
- Leia a “forma”. É \(2\times2\), \(3\times3\) ou tem parâmetro (como \(\alpha\), \(k\), \(m\))?
- Escolha o método: coeficiente \(1\) ⇒ substituição; coeficientes quase opostos ⇒ adição; geral ⇒ Gauss; \(\det\neq0\) em \(2\times2\)/\(3\times3\) ⇒ Regra de Cramer.
- Classifique: em \(2\times2\), \(\det\neq0\Rightarrow\) SPD; \(\det=0\Rightarrow\) ver RHS (SI ou SPI). Em geral, use Rouché–Capelli.
- Resolva (reduza até uma equação simples).
- Parametrize quando houver liberdade (SPI): escolha parâmetro(s) livres e escreva \(S\) em forma vetorial/paramétrica.
- Verifique nas equações originais.
Com parâmetro \(\alpha\)
\(\begin{cases} x-2y=5-3\alpha\\ y=1+2\alpha \end{cases}\)
Resolução e conjunto-solução
Substitua \(y\) na 1ª: \(x-2(1+2\alpha)=5-3\alpha\Rightarrow x-2-4\alpha=5-3\alpha\Rightarrow x=7+\alpha\).
Solução em \(\mathbb{R}^2\): \(S=\{(x,y)=(7+\alpha,\,1+2\alpha)\mid \alpha\in\mathbb{R}\}\).
Se você preferir registrar o parâmetro junto (tripla \((x,y,\alpha)\)), escreva \(S=\{(7+\alpha,\,1+2\alpha,\,\alpha)\mid \alpha\in\mathbb{R}\}\).
Cheque: \(x-2y=(7+\alpha)-2(1+2\alpha)=7+\alpha-2-4\alpha=5-3\alpha\) ✔️.
Receitas rápidas
- 2×2 com substituição: isole a variável “fácil” e substitua. Ex.: \(\{\,x-y=k,\ x+y=4\,\}\Rightarrow x=\frac{4+k}{2},\ y=\frac{4-k}{2}\).
- 2×2 por adição: torne coeficientes opostos e some. Ex.: \(\{\,3x+5y=2,\ 2x-5y=18\,\}\Rightarrow 5x=20\Rightarrow(x,y)=(4,-2)\).
- 3×3 por Gauss: zere abaixo do pivô da 1ª coluna, depois abaixo do pivô da 2ª; retro-substitua.
- Parametrização: em SPI, escolha uma variável livre \(t\) e escreva \(S\) como \((x(t),y(t),z(t))\).
Mais exemplos
3×3 (SPD) — eliminação curta
\(\begin{cases} x+y+z=6\\ 2x-y+z=7\\ -x+2y-z=-1 \end{cases}\)
Resolver
(2)-(1): \(x-2y=1\). (3)+(1): \(3y=5\Rightarrow y=\tfrac{5}{3}\); daí \(x=1+2y=\tfrac{13}{3}\) e do (1) \(z=0\). Solução: \(\big(\tfrac{13}{3},\tfrac{5}{3},0\big)\).
3×3 (SPI) — família paramétrica
\(\begin{cases} x-y+z=0\\ 2x-2y+2z=0\\ 3x-3y+3z=0 \end{cases}\)
Descrever \(S\)
Equações proporcionais ⇒ infinitas soluções. De \(x-y+z=0\Rightarrow x=y-z\). Com \(y=s,\ z=t\): \(S=\{(s-t,s,t)\mid s,t\in\mathbb{R}\}\).
Exercícios (com gabarito)
1) \(\{\,x+y=4,\ x-y=k\,\}\). Escreva \((x,y)\) em função de \(k\).
Gabarito
\(x=\dfrac{4+k}{2},\ y=\dfrac{4-k}{2}\).
2) \(\{\,2x+3y=5,\ 4x+6y=10+m\,\}\). Classifique em função de \(m\).
Gabarito
2ª é o dobro da 1ª no LHS. Se \(m=0\) ⇒ mesmo RHS ⇒ SPI. Se \(m\neq0\) ⇒ SI.
3) \(\{\,3x-2y=7,\ y=a-1\,\}\). Resolva em função de \(a\).
Gabarito
\(x=\dfrac{5+2a}{3},\ y=a-1\).
4) \(\{\,3x+y-z=7,\ 2x-y+z=4,\ x=b\,\}\). Classifique e descreva \(S\).
Gabarito
Somando 1ª e 2ª: \(5x=11\Rightarrow x=\tfrac{11}{5}\). Se \(b\neq\tfrac{11}{5}\) ⇒ conflito ⇒ SI. Se \(b=\tfrac{11}{5}\) ⇒ \(y-z=\tfrac{2}{5}\) ⇒ SPI com \(S=\{(\tfrac{11}{5},\,t+\tfrac{2}{5},\,t)\}\).
5) \(\{\,3x+2y+z=11,\ x-y+z=2,\ 2x+y+z=m\,\}\). Resolva em função de \(m\).
Gabarito
\(x=24-3m,\ y=2m-13,\ z=5m-35\) (SPD para todo \(m\)).
6) \(\{\,x+2y=4,\ k(x+2y)=4k\,\}\). Classifique em função de \(k\).
Gabarito
As equações são equivalentes para todo \(k\) (inclusive \(k=0\)). Logo SPI: \(S=\{(4-2t,t)\}\).
Leia também
Conclusão
Seguindo o checklist — escolher método, classificar, resolver, parametrizar e conferir — você ganha velocidade e confiança. Em sistemas com parâmetros, procure sempre uma expressão limpa para \((x,y)\) (ou \((x,y,z)\)) e escreva o conjunto-solução com o parâmetro explícito.
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