Transformações de Funções: translações no eixo x e no eixo y com exemplos e exercícios
Neste guia você aprende, de forma simples, como **mover** o gráfico de uma função para **cima/baixo** e **direita/esquerda**. Essa habilidade aparece muito em **matemática básica**, **funções no ensino médio** e nas provas do **ENEM**. Vamos usar as notações: \(g(x)=f(x)+a\), \(g(x)=f(x)-a\), \(g(x)=f(x-a)\) e \(g(x)=f(x+a)\).
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1) O que é uma translação de função?
Translação é uma **mudança de posição** do gráfico sem alterar sua forma. Em termos práticos, é “arrastar” o gráfico mantendo a curvatura.
Regras de translação (memorização rápida)
- Para cima: \(g(x)=f(x)+a\) com \(a>0\).
- Para baixo: \(g(x)=f(x)-a\) com \(a>0\).
- Para a direita: \(g(x)=f(x-a)\) com \(a>0\).
- Para a esquerda: \(g(x)=f(x+a)\) com \(a>0\).
Dica: Sinal **fora** de \(x\) move **no eixo y**; sinal **junto ao x** move **no eixo x** (e o sentido no eixo x é “invertido”: \(-a\) desloca para a direita).
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2) Exemplos resolvidos passo a passo
Exemplo A — mover para cima: \(g(x)=f(x)+3\)
Exemplo B — mover para a direita: \(g(x)=f(x-2)\)
Exemplo C — mover para a esquerda e para baixo: \(g(x)=f(x+1)-2\)
Exemplo D — seno transladado: \(g(x)=\sin(x-\pi/3)+1\)
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Acessar Mapas Mentais3) Exercícios propostos
Resolva primeiro. Em seguida, abra o toggle para conferir a solução passo a passo.
1) (Discursiva) Parabola “sobe”
A função base é \(f(x)=x^2-6x+5\). Construa \(g(x)=f(x)+4\) e informe o novo vértice.
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2) (Múltipla escolha) Raiz deslocada
Se \(g(x)=\sqrt{x+5}\), o domínio correto é:
- \(x\ge -5\)
- \(x\le 5\)
- \(x\ge 5\)
- \(x\le -5\)
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Gabarito: A. Para \(\sqrt{x+5}\), exige-se \(x+5\ge0\Rightarrow x\ge-5\). (Translação 5 à esquerda.)
3) (Discursiva) Mover para a direita
Para \(f(x)=|x-2|\), determine \(g(x)=f(x-3)\). Qual é o ponto de mínimo?
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4) (Múltipla escolha) Seno com duas translações
Considere \(g(x)=\sin(x+\pi/4)-2\). Assinale a correta:
- Direita \(\pi/4\) e sobe 2
- Esquerda \(\pi/4\) e desce 2
- Direita \(\pi/4\) e desce 2
- Esquerda \(\pi/2\) e sobe 2
Mostrar resposta
Gabarito: B. \((x+\pi/4)\) desloca para a esquerda \(\pi/4\); “\(-2\)” desloca para baixo 2.
5) (Discursiva) Completando quadrado
\(f(x)=x^2\). Encontre \(g(x)=f(x-1)-3\) e o vértice do novo gráfico.
Ver solução
6) (Múltipla escolha) Qual é a translação?
A partir de \(f(x)=\ln x\), obtém-se \(g(x)=\ln(x-4)+2\).
- Direita 4; sobe 2
- Esquerda 4; sobe 2
- Direita 2; sobe 4
- Direita 4; desce 2
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Gabarito: A. \((x-4)\) → direita 4; “+2” → para cima 2.
7) (Discursiva) Função cúbica
\(f(x)=x^3\). Determine a equação de \(g\) ao deslocar 2 para a esquerda e 1 para cima.
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8) (Múltipla escolha) Domínio após translação
Para \(f(x)=\dfrac{1}{x}\), considere \(g(x)=f(x+1)\). O domínio de \(g\) é:
- \(x\in\mathbb{R}\)
- \(x\ne -1\)
- \(x\ne 1\)
- \(x\ge -1\)
Mostrar resposta
Gabarito: B. \(\dfrac{1}{x+1}\) é indefinida em \(x=-1\).
4) Checklist rápido para provas
- Identifique se o termo que altera a função está **fora** (eixo y) ou **junto ao x** (eixo x).
- No eixo x, lembre do **sentido invertido**: \(x-a\) → direita; \(x+a\) → esquerda.
- Domínios e pontos notáveis (raízes, vértice, assíntotas) se movem com o gráfico.
- Translação **não altera** a forma: amplitude, concavidade e período (quando existirem) permanecem.
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