Triângulo Circunferência (Incírculo no Triângulo)
SEO discreto: triângulo circunferência, incírculo, incentro, raio \(r\), semiperímetro \(s\), área \(A=rs\).
Definição e objetos notáveis
- Incírculo: círculo inscrito no triângulo, tangente aos três lados.
- Incentro: encontro das bissetrizes internas; é o centro do incírculo.
- Raio do incírculo: \(r\), distância do incentro a cada lado.
- Pontos de tangência: se o lado oposto a \(A\) mede \(a\), os segmentos criados pelo ponto de tangência são \(s-b\) e \(s-c\).
As fórmulas valem para qualquer triângulo: equilátero, isósceles ou escaleno.
Propriedades e fórmulas essenciais
Centros e posições: veja Pontos Notáveis do Triângulo. Compare com classificações por ângulos: retângulo, acutângulo, obtusângulo. Panorama geral: tipos de triângulos.
Exemplos resolvidos (passo a passo vertical)
Exemplo 1 — O incírculo tem raio \(r=3\) e semiperímetro \(s=14\). Calcule a área.
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\(A=rs\)
\(=3\cdot 14\)
\(=42\).
Exemplo 2 — Para lados \(a=7\), \(b=8\), \(c=9\), determine \(r\).
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\(s=\dfrac{7+8+9}{2}\)
\(=12\)
\(A=\sqrt{12(12-7)(12-8)(12-9)}\)
\(=\sqrt{12\cdot 5\cdot 4\cdot 3}\)
\(=12\sqrt5\)
\(r=\dfrac{A}{s}\)
\(=\dfrac{12\sqrt5}{12}\)
\(=\sqrt5\approx 2{,}236\).
Exemplo 3 — Num triângulo com lados \(a=13\), \(b=14\), \(c=15\), ache os segmentos no lado \(a\) criados pelo ponto de tangência.
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\(s=\dfrac{13+14+15}{2}\)
\(=21\)
No lado \(a=13\), os segmentos são \(s-b=21-14=7\) e \(s-c=21-15=6\).
Verificação: \(7+6=13\).
Exemplo 4 — Para o triângulo do Ex.3, calcule \(\tan\frac{A}{2}\).
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\(\tan\frac{A}{2}=\dfrac{r}{s-a}\). Como \(A\) pertence ao lado \(a=13\) e \(s=21\), primeiro obtemos \(r=\dfrac{A}{s}=\dfrac{84}{21}=4\) (pois \(A=\sqrt{21\cdot8\cdot7\cdot6}=84\)).
\(\tan\frac{A}{2}=\dfrac{4}{21-13}=\dfrac{4}{8}=\dfrac{1}{2}=0{,}5\).
Exemplo 5 — Em um triângulo retângulo com catetos 6 e 8, determine \(r\).
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Hipotenusa \(=10\), \(A=\dfrac{6\cdot8}{2}=24\), \(s=\dfrac{6+8+10}{2}=12\).
\(r=\dfrac{A}{s}=\dfrac{24}{12}=2\).
Exercícios de múltipla escolha (com solução em abre/fecha)
1) Se \(r=2\) e \(s=21\), então a área é:
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\(A=rs\)
\(=2\cdot 21\)
\(=42\).
2) Para \(a=7\), \(b=8\), \(c=9\), o valor de \(r\) é, aprox.:
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\(r=\sqrt5\approx 2{,}236\Rightarrow\) opção B.
3) Em geral, o raio do incírculo satisfaz:
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Da fórmula da área \(A=rs\Rightarrow r=A/s\). Alternativa C.
4) Para lados \(13,14,15\), os segmentos no lado de medida \(13\) são:
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\(s=21\Rightarrow s-b=7,\ s-c=6\). Alternativa C.
5) Se \(s=18\) e \(r=3\), o perímetro vale:
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Perímetro \(P=2s=36\). Alternativa B.
6) Em um triângulo retângulo de catetos 6 e 8, o raio do incírculo é:
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Do Exemplo 5: \(r=\dfrac{24}{12}=2\). Alternativa B.
7) Se \(A=60^\circ\), \(B=70^\circ\), \(C=50^\circ\) e \(R=10\), então \(r\approx\):
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\(r=4R\sin30^\circ\sin35^\circ\sin25^\circ\)
\(\approx 40\cdot 0{,}5\cdot 0{,}5736\cdot 0{,}4226\)
\(\approx 4{,}85\). Alternativa C.
8) A relação correta envolvendo meia-ângulos é:
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Por definição geométrica do incentro: \(\tan\frac{A}{2}=\dfrac{r}{s-a}\). Alternativa B.
9) Dado \(r=2{,}5\) e \(s=19\), o perímetro do triângulo é:
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Perímetro \(P=2s=38\). Alternativa B.
10) O incentro é a interseção de:
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Definição: incentro = encontro das bissetrizes internas. Alternativa D.
Continue estudando
Triângulo inscrito na circunferência (figuras) Triângulo retângulo Triângulo acutângulo Triângulo obtusângulo Triângulo equilátero Triângulo isósceles Triângulo escaleno Área de triângulo Pontos notáveis
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Resumo visual: \(A=rs\), \(r=\dfrac{A}{s}\), meia-ângulos e Heron.
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