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A figura abaixo exibe um triângulo isósceles com dois lados de comprimento \( a = 5 \, \text{cm} \) e um dos ângulos internos igual a \( \theta \), com \( \cos\theta = \frac{3}{5} \).
Triângulo isósceles com ângulo θ e lados iguais a 5 cm
a) Calcule a área desse triângulo.
b) Determine o comprimento do raio da circunferência circunscrita a esse triângulo.
    Triângulo isósceles com ângulo θ e lados iguais a 5 cm
  1. Calculando o seno de θ:
    Sabemos que \( \cos\theta = \frac{3}{5} \). Pela relação fundamental: \[ \sin^2\theta + \cos^2\theta = 1 \] \[ \sin\theta = \frac{4}{5} \]
  2. Área do triângulo: \[ S = \frac{a^2 \cdot \sin\theta}{2} = \frac{5 \cdot 5 \cdot \frac{4}{5}}{2} = 10 \, \text{cm}^2 \]
  3. Determinando o terceiro lado (x):
    Pela lei dos cossenos: \[ x^2 = a^2 + a^2 – 2a^2\cos\theta \] \[ x^2 = 50 – 30 = 20 \quad \Rightarrow \quad x = 2\sqrt{5} \]
  4. Determinando o raio da circunferência circunscrita (R):
    Fórmula da área usando o raio: \[ S = \frac{a \cdot a \cdot x}{4R} \] \[ 10 = \frac{5 \cdot 5 \cdot 2\sqrt{5}}{4R} \quad \Rightarrow \quad R = \frac{5\sqrt{5}}{4} \, \text{cm} \]

Respostas:

  • a) \( 10 \, \text{cm}^2 \)
  • b) \( \frac{5\sqrt{5}}{4} \, \text{cm} \)
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Adriano Rocha

Sou Adriano Rocha, professor de Matemática com mestrado e especialização em Resolução de Problemas, além de expertise em concursos públicos. Leciono no Colégio Estadual Mimoso do Oeste e utilizo metodologias inovadoras para aprimorar a compreensão matemática e a resolução de problemas. Produzo conteúdos como artigos para blogs, livros, eBooks e mapas mentais, além de desenvolver materiais didáticos e participar de eventos acadêmicos, sempre com o objetivo de contribuir para o ensino e aprendizagem da Matemática.
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