a) Calcule a área desse triângulo.
b) Determine o comprimento do raio da circunferência circunscrita a esse triângulo.
- Calculando o seno de θ:
Sabemos que \( \cos\theta = \frac{3}{5} \). Pela relação fundamental: \[ \sin^2\theta + \cos^2\theta = 1 \] \[ \sin\theta = \frac{4}{5} \] - Área do triângulo: \[ S = \frac{a^2 \cdot \sin\theta}{2} = \frac{5 \cdot 5 \cdot \frac{4}{5}}{2} = 10 \, \text{cm}^2 \]
- Determinando o terceiro lado (x):
Pela lei dos cossenos: \[ x^2 = a^2 + a^2 – 2a^2\cos\theta \] \[ x^2 = 50 – 30 = 20 \quad \Rightarrow \quad x = 2\sqrt{5} \] - Determinando o raio da circunferência circunscrita (R):
Fórmula da área usando o raio: \[ S = \frac{a \cdot a \cdot x}{4R} \] \[ 10 = \frac{5 \cdot 5 \cdot 2\sqrt{5}}{4R} \quad \Rightarrow \quad R = \frac{5\sqrt{5}}{4} \, \text{cm} \] - a) \( 10 \, \text{cm}^2 \)
- b) \( \frac{5\sqrt{5}}{4} \, \text{cm} \)
Respostas:
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Adriano Rocha
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