UNICAMP 2022 | Matemática | Geometria Espacial e Custos
Um fabricante de produtos de beleza está modificando as dimensões da embalagem de seu principal produto, o shampoo antipiolhos chamado 100𝜋olho. Atualmente, as embalagens têm o formato de um paralelepípedo com 18 cm de altura e com base retangular de dimensões 2 cm × 3 cm.
São utilizados dois tipos de materiais para construir a embalagem. O material utilizado tanto para a base quanto para a lateral é mais simples e custa R$ 10,00 o metro quadrado. O material utilizado para a tampa custa R$ 40,00 o metro quadrado, por ser mais resistente. a) Qual o custo atual do material para construir 100 embalagens? b) Por questões logísticas, as novas embalagens devem ter o formato de um paralelepípedo com base quadrada e com altura de 12 cm, e precisam ter a mesma capacidade volumétrica que as embalagens atuais. Quais as dimensões da nova embalagem e o custo de produção de 100 delas, considerando os mesmos materiais para produção?Resolução:
1) Volume da embalagem atual:
\[ V = 2 \times 3 \times 18 = 108\,\text{cm}^3 \]2) Área da base + lateral:
\[ A_\text{base+lateral} = 3 \times 2 + 2 \times (3+2)\times18 = 186\,\text{cm}^2 \] Convertendo para metros quadrados: \[ 0,0186\, m^2 \]3) Área da tampa:
\[ 3 \times 2 = 6\,\text{cm}^2 = 0,0006\, m^2 \]4) Custo de 100 embalagens atuais:
\[ 100 \times (0,0186 \times 10 + 0,0006 \times 40) = 21\,\text{reais} \]5) Nova embalagem: base quadrada de lado \(x\) e altura 12 cm.
\[ x^2 \cdot 12 = 108 \quad\Rightarrow\quad x = 3\,\text{cm} \]6) Área da base + lateral:
\[ 3^2 + 4\cdot 3\cdot 12 = 153\,\text{cm}^2 = 0,0153\,m^2 \]7) Área da tampa:
\[ 3^2 = 9\,\text{cm}^2 = 0,0009\, m^2 \]8) Custo de 100 novas embalagens:
\[ 100 \times (0,0153 \times 10 + 0,0009 \times 40) = 18,90\,\text{reais} \] a) R\$ 21,00b) Lado = 3 cm e custo R\$ 18,90
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