Vértice da parábola: como encontrar e interpretar
O vértice de \(f(x)=ax^2+bx+c\) é o ponto mais alto (máximo) quando \(a<0\) ou o mais baixo (mínimo) quando \(a>0\). Ele concentra a informação de valor máximo/mínimo, forma do gráfico e do eixo de simetria.
Fórmulas essenciais
Equivalente via forma canônica: \(f(x)=a(x-h)^2+k\Rightarrow V=(h,k)\).
Como calcular (3 passos)
- Leia \(a,b,c\).
- Calcule \(x_v=-\dfrac{b}{2a}\).
- Calcule \(y_v\) por \(y_v=f(x_v)\) ou \(y_v=-\dfrac{\Delta}{4a}\).
Interpretação
- O eixo de simetria é \(x=x_v\).
- \(a>0\) ⟶ vértice é mínimo; \(a<0\) ⟶ vértice é máximo.
- Em contexto físico (lançamentos), \(x_v\) é o instante de pico e \(y_v\) a altura máxima.
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Exemplo 1 — Vértice de \(f(x)=-x^2+6x+5\)
Como \(a<0\), \(V=(3,14)\) é um máximo.
Exemplo 2 — Vértice de \(g(x)=2x^2-8x+1\)
Como \(a>0\), \(V=(2,-7)\) é um mínimo.
Exemplo 3 — Forma canônica e vértice de \(h(x)=3x^2+12x-7\)
Logo \(V=(-2,-19)\) (mínimo).
Exemplo 4 — Pico de um lançamento: \(H(t)=-0.4t^2+12t\)
Altura máxima \(90\) (unidades do gráfico) ocorre em \(t=15\).
Erros comuns
- Usar \(c\) como ordenada do vértice. Cuidado: \(c=f(0)\), enquanto \(y_v=-\dfrac{\Delta}{4a}\).
- Esquecer o sinal de \(a\) ao interpretar se o vértice é máximo ou mínimo.
- Confundir “deslocamento horizontal” com o efeito de \(b\): o eixo é \(x=-\dfrac{b}{2a}\).
Exercícios propostos
1) Encontre o vértice de \(p(x)=-2x^2+10x-1\).
Gabarito
Vértice \(V=(2{,}5,\,11{,}5)\) — máximo.
2) Transforme \(q(x)=x^2-4x+13\) em canônica e leia \(V\).
Gabarito
\(V=(2,9)\) — mínimo.
3) Para \(r(x)=5x^2+bx+20\), determine \(b\) tal que \(x_v=1\).
