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Questão 17 – PROFMAT 2025

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Se \( \sqrt{3}^{\sqrt{2}} \) for racional, temos um irracional que elevado a um irracional dá um racional. Se, por outro lado, \( \sqrt{3}^{\sqrt{2}} \) for irracional, como: \[ (\sqrt{3}^{\sqrt{2}})^{\sqrt{2}} = \sqrt{3}^{2} = 3 \] temos um exemplo de irracional elevado a irracional que resulta em racional.

O argumento acima prova que:

(A) \( \sqrt{3}^{\sqrt{2}} \) é um número irracional.

(B) \( \sqrt{3}^{\sqrt{2}} \) é um número racional.

(C) existem \(x\) e \(y\) irracionais tais que \(x^y\) é irracional.

(D) existem \(x\) e \(y\) irracionais tais que \(x^y\) é racional.

(E) se \(x\) e \(y\) são irracionais, então \(x^y\) é racional.

Solução Passo a Passo

1º Passo: Temos duas possibilidades:

  • \( \sqrt{3}^{\sqrt{2}} \) é racional
  • \( \sqrt{3}^{\sqrt{2}} \) é irracional

2º Passo: Em cada caso, obtemos um irracional elevado a um irracional que resulta em um número racional.

Conclusão: O argumento prova que existem irracionais \(x\) e \(y\) tais que \(x^y\) é racional.

Resposta: Alternativa D.

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Adriano Rocha

Sou Adriano Rocha, professor de Matemática com mestrado e especialização em Resolução de Problemas, além de expertise em concursos públicos. Leciono no Colégio Estadual Mimoso do Oeste e utilizo metodologias inovadoras para aprimorar a compreensão matemática e a resolução de problemas. Produzo conteúdos como artigos para blogs, livros, eBooks e mapas mentais, além de desenvolver materiais didáticos e participar de eventos acadêmicos, sempre com o objetivo de contribuir para o ensino e aprendizagem da Matemática.
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