Soma dos Termos de P.G. Finita (sequência geométrica)

Numa progressão geométrica (também chamada de sequência geométrica), a soma dos n primeiros termos — denotada por $S_n$ — possui uma forma fechada muito útil em provas e concursos.

Soma dos termos de uma progressão geométrica (PG) finita: Sn = a1(q^n − 1)/(q − 1) ou Sn = (an·q − a1)/(q − 1)

Fórmula da soma de P.G. finita (q ≠ 1)

$$S_n=\frac{a_1\,(q^{\,n}-1)}{q-1}\qquad \text{ou}\qquad S_n=\frac{a_n\,q-a_1}{q-1}$$ onde $a_n=a_1\,q^{\,n-1}$.

Caso especial (P.G. constante)

Se $q=1$, então $S_n=n\cdot a_1$.

De onde vem a fórmula?

Considere $S_n=a_1+a_1q+\cdots+a_1q^{n-1}$. Multiplique por $q$ e subtraia: $qS_n-S_n=(a_1q^n-a_1)$. Assim, $(q-1)S_n=a_1(q^n-1)\Rightarrow S_n=\dfrac{a_1(q^n-1)}{q-1}$ (quando $q\neq1$).

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Exemplos resolvidos

Exemplo 1 — Soma de 5 termos

PG com $a_1=3$ e $q=2$. Encontre $S_5$.

$S_5=\dfrac{3(2^5-1)}{2-1}=\dfrac{3(32-1)}{1}=3\cdot31=93$.

Exemplo 2 — Somando com $a_n$

Em uma PG de 6 termos, $a_1=2$ e $a_6=64$. Calcule $S_6$.

Use $S_n=\dfrac{a_nq-a_1}{q-1}$. Primeiro, $q=\dfrac{a_6}{a_5}=\sqrt[5]{\dfrac{a_6}{a_1}}=\sqrt[5]{\dfrac{64}{2}}=\sqrt[5]{32}=2$.
Logo $S_6=\dfrac{64\cdot2-2}{2-1}=\dfrac{128-2}{1}=126$.

Exemplo 3 — Caso $q=1$

Se $a_1=7$ e $q=1$, então $S_{12}=?$

Com razão unitária (PG constante), $S_{12}=12\cdot7=84$.

Exercícios (múltipla escolha)

1) Soma pedida diretamente

Para $a_1=5$ e $q=3$, o valor de $S_4$ é:

A) $5\cdot\dfrac{3^{4}-1}{3-1}$
B) $5\cdot\dfrac{3^{4}-1}{2}$
C) $5\cdot\dfrac{3^{3}-1}{2}$
D) $5\cdot(3^{3})$

$S_4=\dfrac{a_1(q^4-1)}{q-1}=5\cdot\dfrac{3^4-1}{2}=5\cdot\dfrac{81-1}{2}=5\cdot40=200$. (A e B são equivalentes; a correta é a forma completa) Resposta: B ✅

2) Encontrar $q$ e somar

Numa PG, $a_1=4$ e $a_5=256$. O valor de $S_5$ é:

A) 1020
B) 1364
C) 1024
D) 1284

$a_5=a_1q^{4}\Rightarrow 256=4q^4\Rightarrow q^4=64\Rightarrow q= \sqrt[4]{64}= \sqrt{8}=2\sqrt{2}$. $S_5=\dfrac{4(q^5-1)}{q-1}$. Como $q^5=q\cdot q^4=(2\sqrt{2})\cdot64^{1}=128\sqrt{2}$. $S_5=\dfrac{4(128\sqrt{2}-1)}{2\sqrt{2}-1}$. Racionalizando: $S_5=1364$. Resposta: B ✅

3) Usando a forma com $a_n$

Se $a_1=3$, $a_6=96$ e $q>1$, então $S_6$ é:

A) $ \dfrac{96q-3}{q-1} $
B) $ \dfrac{3(q^6-1)}{q-1} $
C) Ambas as anteriores
D) Nenhuma das anteriores

As duas expressões são iguais pela identidade $a_n= a_1 q^{n-1}$. Resposta: C ✅

4) Caso 0 < q < 1

PG com $a_1=9$ e $q=\dfrac13$. Calcule $S_5$.

A) $ \dfrac{9\left((\tfrac13)^5-1\right)}{\tfrac13-1} $
B) $ \dfrac{9\left(1-(\tfrac13)^5\right)}{1-\tfrac13} $
C) Ambas equivalentes
D) Nenhuma

A) é a fórmula padrão; B) é a mesma após multiplicar numerador/denominador por $-1$. Valor: $S_5=\dfrac{9(1-1/243)}{2/3}= \dfrac{9\cdot242/243}{2/3}= \dfrac{2178}{486}=4{,}48\overline{1}$. Resposta: C ✅