A parábola: foco, diretriz e equações canônicas
Em Geometria Analítica, parábola é o lugar geométrico dos pontos \(P\) do plano que estão à mesma distância de um ponto fixo \(F\) (foco) e de uma reta fixa \(r\) (diretriz). O ponto médio entre \(F\) e \(r\) é o vértice, e a reta perpendicular a \(r\) que passa por esse vértice é o eixo de simetria.
Para o estudo funcional da parábola como gráfico de uma função quadrática, veja também: gráfico da quadrática, sinal da função e inequações produto.
1) Dedução da equação canônica \(x^2=4py\)
Considere foco \(F=(0,p)\) e diretriz \(y=-p\) (parábola abrindo para cima). Pela definição, a distância de \((x,y)\) ao foco é igual à distância à diretriz:
Nessa forma, \(p\) é a distância do vértice ao foco (e também do vértice à diretriz). O segmento que passa pelo foco e é paralelo à diretriz, cortando a parábola, tem comprimento \(|4p|\) e chama-se latus rectum.
2) Outras formas canônicas e translações
- Eixo horizontal (abrindo para a direita/esquerda): \(\boxed{y^2=4px}\) com foco \((p,0)\) e diretriz \(x=-p\).
- Translações: se o vértice é \((h,k)\), \[ \boxed{(x-h)^2 = 4p(y-k)} \quad \text{ou} \quad \boxed{(y-k)^2 = 4p(x-h)}. \]
- Relação com a forma funcional: \(x^2=4py \iff y=\dfrac{x^2}{4p}\) (uma quadrática com eixo vertical).
3) Propriedades úteis
- Eixo de simetria: a parábola é simétrica em relação à reta que passa pelo vértice e foco.
- Reflexão: o raio que parte do foco e bate na parábola reflete paralelamente ao eixo (e vice-versa). É a base dos espelhos parabólicos.
- Tangente em \(x^2=4py\): no ponto \((x_1,y_1)\) da parábola, a equação da tangente pode ser escrita como \[ \boxed{x\,x_1 = 2p\,(y+y_1)}. \] (Se preferir derivada: \(y=\tfrac{x^2}{4p}\Rightarrow y’=\tfrac{x}{2p}\) e use a forma ponto-inclinação.)
- Latus rectum: para \(x^2=4py\), o segmento paralelo à diretriz que passa pelo foco tem comprimento \(|4p|\) e extremos \((2p,\,p)\) e \((-2p,\,p)\).
4) Exemplos resolvidos (contas uma embaixo da outra)
Exemplo 1 — Identificar foco e diretriz de \(y=\dfrac{x^2}{8}\)
Compare com \(x^2=4py\).
Exemplo 2 — Transladada: \((x-3)^2=12(y+1)\)
Compare com \((x-h)^2=4p(y-k)\).
Exemplo 3 — Eixo horizontal: \(y^2=4x\)
5) Como esboçar rapidamente
- Coloque a equação em uma das canônicas (\(x^2=4py\), \(y^2=4px\), ou suas versões transladadas).
- Leia \(p\), marque o vértice, o foco e a diretriz.
- Use o eixo de simetria e alguns pontos (por exemplo, sobre o latus rectum) para guiar a curva.
- Lembre: se \(p>0\) a abertura é para cima/direita; se \(p<0\), para baixo/esquerda.
6) Relação com a função quadrática
Toda parábola com eixo paralelo a \(y\) pode ser escrita como \(y=ax^2+bx+c\) (ver função quadrática). A passagem entre \(x^2=4py\) e a forma funcional é imediata: \[ x^2 = 4py \iff y = \frac{x^2}{4p}. \] Para translações, use \((x-h)^2=4p(y-k)\Rightarrow y = \dfrac{(x-h)^2}{4p}+k\).
