Classificação dos Sistemas Lineares — SPD, SPI e SI

Sistema possível determinado (SPD)

Um sistema é SPD quando possui exatamente uma solução. Em termos matriciais, com \(A\in\mathbb{R}^{m\times n}\) e sistema \(A\mathbf{x}=\mathbf{b}\), isso ocorre quando:

• \(\operatorname{rg}(A)=\operatorname{rg}([A\,|\,\mathbf{b}])=n\) (todas as variáveis ficam determinadas), e
• necessariamente \(m\ge n\). No caso quadrado \(n\times n\), equivale a \(\det(A)\ne 0\).

Importante: o critério do determinante aplica-se apenas a sistemas quadrados \(n\times n\). Para sistemas retangulares, utilize o posto (rank) e a igualdade \( \operatorname{rg}(A)=\operatorname{rg}([A\,|\,\mathbf{b}])=n \).

Pratique este caso com exercícios 2×2 e 3×3 no Guia de Métodos. Veja também Definições e Conceitos.

Sistema possível indeterminado (SPI)

Um sistema é SPI quando é compatível e possui infinitas soluções. Em linguagem de posto (rank):

• \(\operatorname{rg}(A)=\operatorname{rg}([A\,|\,\mathbf{b}])=r\), mas
• \(rparâmetros livres.

Geometria (2 variáveis): duas retas coincidentes (mesmo conjunto de pontos). Para revisar a escrita matricial e matriz aumentada, veja Definições e Conceitos.
Pratique com exercícios no Guia de Métodos.

Sistema impossível (SI)

Um sistema é SI quando é incompatível, ou seja, não admite solução. Em termos de posto:

Geometria (2 variáveis): duas retas paralelas que não se encontram. Em dimensões maiores: em \(\mathbb{R}^n\), pense em hiperplanos; SI ocorre quando não há ponto comum entre eles. Veja Definições e Conceitos.
Pratique com exercícios no Guia de Métodos.

Critério baseado na relação entre número de equações e incógnitas

Considere \(A\in\mathbb{R}^{m\times n}\), com sistema \(A\mathbf{x}=\mathbf{b}\), posto \(r=\operatorname{rg}(A)\) e \(r'=\operatorname{rg}([A\,|\,\mathbf{b}])\).

Casos típicos

• Sistema quadrado (\(m=n\)): — Se \(\det(A)\ne0\) ⇒ \(r=r'=n\) ⇒ SPD. — Se \(\det(A)=0\), pode ser SPI (se \(r=r'SI (se \(r\ne r'\)).
• Mais equações do que incógnitas (\(m>n\), superdeterminado): — Pode ser SPD se \(r=r'=n\). — Pode ser SI se algum subconjunto for incompatível (\(r\ne r'\)).
• Mais incógnitas do que equações (\(msubdeterminado): — Se compatível (\(r=r'\)), necessariamente SPI com \(n-r\) parâmetros livres.

Resumo via Rouché–Capelli

Exemplo rápido: posto e classificação

Tabela-resumo: SPD × SPI × SI

Para ver como o posto aparece no escalonamento, confira Escalonamento de Gauss.

FAQ — Perguntas frequentes

Como saber rapidamente se um sistema 2×2 é SPD?

Se for quadrado, calcule o determinante \(\Delta=a_1b_2-a_2b_1\). Se \(\Delta\neq0\), o sistema é SPD.

Se \(m

Não. Com menos equações do que incógnitas, se o sistema for compatível, será SPI (haverá parâmetros livres). Pode ser SI se incompatível.

O que é a matriz aumentada e por que ela importa?

É \([A\,|\,\mathbf{b}]\), matriz dos coeficientes com a coluna dos termos independentes. Comparar \( \operatorname{rg}(A) \) e \( \operatorname{rg}([A|b]) \) (Rouché–Capelli) decide compatibilidade.

Em dimensões maiores, como interpretar SPI?

Como interseção de hiperplanos formando um conjunto afim de dimensão \(n-r\) (reta, plano, etc.).

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