📘 Dicionário de Matemática — Letra L
Verbete por verbete, com destaque para termo, definição e fórmulas: de limite e logaritmo a Laplace, Lagrange, Lei dos Senos, LGN e espaços \(L^p\).
Como usar
Role e consulte os verbetes. Cada bloco traz o termo (chip azul), a definição (faixa verde) e a fórmula/exemplo (faixa roxa) quando pertinente.
Limite (Definição \(\varepsilon\)–\(\delta\))Análise
Valor que \(f(x)\) se aproxima quando \(x\) tende a \(a\).
\(\lim_{x\to a}f(x)=L \iff \forall\varepsilon>0\,\exists\delta>0:0<|x-a|<\delta\Rightarrow |f(x)-L|<\varepsilon\).
Limite LateralAnálise
Aproximação de \(f\) por apenas um lado do ponto.
\(\lim_{x\to a^-}f(x)\) (pela esquerda), \(\lim_{x\to a^+}f(x)\) (pela direita).
\(\limsup\) e \(\liminf\)Sequências
Limite superior/inferior acumulado de uma sequência \(\{a_n\}\).
\(\displaystyle \limsup a_n=\inf_{n}\sup_{k\ge n} a_k\), \(\;\liminf a_n=\sup_{n}\inf_{k\ge n} a_k\).
Regra de L’HôpitalCálculo
Avalia limites indeterminados do tipo \(0/0\) ou \(\infty/\infty\).
\(\displaystyle \lim_{x\to a}\frac{f}{g}=\lim_{x\to a}\frac{f’}{g’}\) se condições de derivabilidade forem atendidas.
LogaritmoFunções
Expoente ao qual a base \(b>0\) (e \(b\neq1\)) deve ser elevada para produzir \(a\).
\(\log_b a=\dfrac{\log_c a}{\log_c b}\);\; propriedades: \(\log(ab)=\log a+\log b\), \(\log(a^k)=k\log a\).
Logaritmo NaturalFunções
Logaritmo na base \(e\) (\(\approx2{,}71828\)).
\(\ln x=\int_1^x \frac{1}{t}\,dt\);\; \(\dfrac{d}{dx}\ln x=\dfrac{1}{x}\) (\(x>0\)).
Lognormal (Distribuição)Probabilidade
Se \(\ln X\sim \mathcal{N}(\mu,\sigma^2)\), então \(X\) é lognormal.
PDF: \(\displaystyle f(x)=\frac{1}{x\sigma\sqrt{2\pi}}\exp\!\left(-\frac{(\ln x-\mu)^2}{2\sigma^2}\right),\; x>0\).
Logística (Função)Modelagem
Curva em “S” para crescimento limitado por capacidade de suporte \(K\).
\(f(t)=\dfrac{K}{1+Ae^{-rt}}\);\; logit: \(\operatorname{logit}(p)=\ln\frac{p}{1-p}\).
Transformada de LaplaceEDO / Sinais
Converte funções do tempo para o domínio \(s\), facilitando a resolução de EDOs lineares.
\(\mathcal{L}\{f(t)\}(s)=\displaystyle\int_0^\infty e^{-st}f(t)\,dt\).
LaplacianoCálculo Vetorial
Operador diferencial que mede a curvatura/“difusão” de um campo escalar.
\(\Delta f=\nabla\cdot\nabla f=\sum_{i=1}^n \frac{\partial^2 f}{\partial x_i^2}\).
Multiplicadores de LagrangeOtimização
Método para extremos de \(f(x)\) com restrições \(g(x)=0\).
\(\nabla f(x^\*)=\lambda \nabla g(x^\*)\), \(\;g(x^\*)=0\).
Interpolação de LagrangeNumérico
Polinômio que interpola pontos \((x_i,y_i)\).
\(P(x)=\sum_{i=0}^n y_i\,\ell_i(x)\), \(\ell_i(x)=\prod_{j\ne i}\dfrac{x-x_j}{x_i-x_j}\).
Lei dos SenosGeometria
Relação entre lados e ângulos de um triângulo qualquer.
\(\displaystyle \frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R\) (onde \(R\) é o raio da circunferência circunscrita).
Lei dos Grandes Números (LGN)Probabilidade
A média amostral converge (em probabilidade) para a média verdadeira quando \(n\to\infty\).
\(\bar X_n \xrightarrow{P} \mu\) se \(X_i\) i.i.d. com \(\mathbb{E}[X_i]=\mu\).
Espaços \(L^p\)Análise Funcional
Funções com \(p\)-ésima potência integrável (norma \(L^p\)).
\(\|f\|_{p}=\left(\int |f|^{p}\right)^{1/p}\) (\(1\le p<\infty\)); \(L^\infty\): norma essencial suprema.
LinearizaçãoCálculo
Aproximação de \(f\) perto de \(x_0\) por sua reta tangente.
\(L(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)\).
Linearidade (Operadores)Álgebra / Análise
Preservação de somas e escalares por operadores/funções.
Ex.: \(\mathbb{E}[aX+bY]=a\mathbb{E}[X]+b\mathbb{E}[Y]\); \(\mathcal{L}\{af+bg\}=a\mathcal{L}\{f\}+b\mathcal{L}\{g\}\).
Teste da Comparação LimiteSéries
Compara \(\sum a_n\) com \(\sum b_n\) via limite do quociente.
Se \(\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=c\in(0,\infty)\), então \(\sum a_n\) e \(\sum b_n\) têm o mesmo comportamento de convergência.
Lasso (Regularização \(L^1\))Estatística / ML
Penalização \(L^1\) que incentiva esparsidade nos coeficientes do modelo.
\(\min_\beta \; \|y-X\beta\|_2^2+\lambda\|\beta\|_1\).
Likelihood (Verossimilhança)Estatística
Função dos parâmetros dada a amostra; base para estimação por máxima verossimilhança.
\(L(\theta\mid x)=\prod_{i=1}^n f(x_i\mid \theta)\);\; \(\ell(\theta)=\ln L(\theta)\).
Sentiu falta de algum termo com “L”? Deixe nos comentários para atualização.
