📘 Dicionário de Matemática — Letra P
Verbete por verbete, com destaque para termo, definição e fórmulas: de probabilidade e permutação a produtos, polinômios, PA, planos, pontos, Poisson e Pitágoras.
Como usar
Role e consulte os verbetes. Cada bloco traz o termo (chip azul), a definição (faixa verde) e a fórmula/exemplo (faixa roxa) quando pertinente.
ProbabilidadeProbabilidade
Medida entre 0 e 1 que quantifica a chance de um evento ocorrer.
\(\mathbb{P}(\Omega)=1\), \(\mathbb{P}(A\cup B)=\mathbb{P}(A)+\mathbb{P}(B)-\mathbb{P}(A\cap B)\).
Probabilidade CondicionalProbabilidade
Probabilidade de \(A\) dado que \(B\) ocorreu.
\(\mathbb{P}(A\mid B)=\dfrac{\mathbb{P}(A\cap B)}{\mathbb{P}(B)}\), \(\mathbb{P}(B)>0\).
Probabilidade TotalProbabilidade
Decomposição da probabilidade via partição do espaço amostral.
Se \(\{B_i\}\) é partição e \(\mathbb{P}(B_i)>0\): \(\mathbb{P}(A)=\sum_i \mathbb{P}(A\mid B_i)\mathbb{P}(B_i)\). (Ver também Bayes na letra B.)
p-valorEstatística
Probabilidade de observar resultado tão extremo quanto o obtido (ou mais), assumindo \(H_0\) verdadeira.
Rejeita-se \(H_0\) se \(p\le \alpha\) (nível de significância).
PercentilEstatística Descritiva
Valor abaixo do qual está uma dada porcentagem dos dados.
Percentil \(k\): posição aproximada \(L=\dfrac{k}{100}(n+1)\) em dados ordenados.
Porcentagem (Percentual)Aritmética
Proporção em partes por 100.
\(x\%\) de \(y\) = \(\dfrac{x}{100}\,y\); aumento \(r\%\): \(y(1+r/100)\).
ProporçãoAritmética / Estatística
Razão de parte sobre todo (ou relação entre duas razões iguais).
Se \(\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}\), então \(ad=bc\).
Permutação (Simples)Combinatória
Arranjos de \(n\) elementos distintos em ordem.
\(P_n=n!\).
Permutação com RepetiçãoCombinatória
Arranjos quando há elementos iguais.
De \(n\) itens com contagens \(n_1,\dots,n_k\): \(\dfrac{n!}{n_1!\cdots n_k!}\).
Permutação CircularCombinatória
Arranjos em círculo, onde rotações equivalem.
\((n-1)!\) para \(n\) distintos em volta de uma mesa.
Princípio Aditivo (Regra da Soma)Combinatória
Se eventos são disjuntos, o total é a soma dos casos.
Se \(A\cap B=\varnothing\): \(|A\cup B|=|A|+|B|\).
Princípio Multiplicativo (Regra do Produto)Combinatória
Se etapas independentes têm \(a\) e \(b\) escolhas, o total é \(ab\).
Sequência de \(k\) etapas: \(\prod_{i=1}^k n_i\).
Princípio das Gavetas (Dirichlet)Combinatória
Se \(n+1\) objetos são colocados em \(n\) caixas, alguma caixa terá ≥2 objetos.
Forma geral: com \(\sum c_i\) objetos e \(\sum b_i\) caixas, algum \(i\) tem \(c_i>b_i\).
Produto CartesianoConjuntos
Conjunto de pares ordenados de dois conjuntos.
\(A\times B=\{(a,b):a\in A,\;b\in B\}\).
Produto EscalarÁlgebra Linear
Associa a dois vetores um número, respeitando linearidade, simetria e positividade.
\(\langle x,y\rangle=\sum_i x_i y_i\); ângulo: \(\cos\theta=\dfrac{\langle x,y\rangle}{\|x\|\|y\|}\).
Produto Interno (Geral)Análise Funcional
Generaliza produto escalar para espaços de funções/vetores abstratos.
Projeção: \( \operatorname{proj}_u v=\dfrac{\langle v,u\rangle}{\langle u,u\rangle}u\).
Produto Misto (Triplo Escalar)Geometria / Vetores
Volume assinado do paralelepípedo definido por \(u,v,w\).
\([u,v,w]=u\cdot(v\times w)=\det[u\;v\;w]\).
PolinômioÁlgebra
Expressão \(a_n x^n+\cdots+a_1x+a_0\) com coeficientes em um corpo.
Grau: \(\deg p=\max\{k:a_k\ne0\}\); divisão euclidiana em \(\mathbb{K}[x]\).
Polinômio CaracterísticoÁlgebra Linear
\(p_A(\lambda)=\det(\lambda I-A)\); raízes são autovalores de \(A\).
Teorema de Cayley–Hamilton: \(p_A(A)=0\).
Polinômio MínimoÁlgebra Linear
Menor grau moníc. \(m_A\) tal que \(m_A(A)=0\); divide \(p_A\).
Diagonalizabilidade se \(m_A\) não tem raízes repetidas (em corpo alg. fechado).
Progressão Aritmética (PA)Sucessões
Sequência de razão constante \(r\) entre termos consecutivos.
Geral: \(a_n=a_1+(n-1)r\);\; soma: \(S_n=\dfrac{n(a_1+a_n)}{2}\).
Plano CartesianoGeometria Analítica
Plano definido por eixos perpendiculares \(x\) e \(y\); pontos \((x,y)\).
Distância: \(d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}\).
Plano TangenteCálculo Multivariável
Plano que melhor aproxima uma superfície \(z=f(x,y)\) perto de \((x_0,y_0)\).
\(z\approx f_0+f_x(x_0,y_0)(x-x_0)+f_y(x_0,y_0)(y-y_0)\).
Ponto MédioGeometria
Ponto no meio do segmento entre \(A(x_1,y_1)\) e \(B(x_2,y_2)\).
\(\left(\dfrac{x_1+x_2}{2},\dfrac{y_1+y_2}{2}\right)\).
Ponto CríticoCálculo
Ponto onde \(f'(x)=0\) ou \(f’\) não existe; candidato a extremo.
Teste 2ª deriv.: \(f”(x_0)>0\) mínimo, \(f”(x_0)<0\) máximo, mudança de sinal dá inflexão.
Teorema de PitágorasGeometria
Em triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa é a soma dos quadrados dos catetos.
\(c^2=a^2+b^2\); distância euclidiana decorre desse teorema.
Processo de PoissonProcessos Estocásticos
Modelo de contagem de eventos raros, com incrementos independentes e estacionários.
\(\mathbb{P}(N(t)=k)=e^{-\lambda t}\dfrac{(\lambda t)^k}{k!}\); interchegadas \(\sim\) Exponencial(\(\lambda\)).
Distribuição de PoissonProbabilidade
Distribuição discreta para número de eventos em intervalo fixo com taxa \(\lambda\).
\(\mathbb{P}(X=k)=e^{-\lambda}\dfrac{\lambda^k}{k!}\), \(k=0,1,2,\dots\).
Distribuição de ParetoProbabilidade
Modelo de cauda pesada para riqueza, tamanho de cidades etc.
CDF: \(F(x)=1-\left(\dfrac{x_{\min}}{x}\right)^{\alpha}\), \(x\ge x_{\min}>0\), \(\alpha>0\).
Pivô (Eliminação de Gauss)Álgebra Linear / Numérico
Elemento escolhido para zerar entradas abaixo/acima numa coluna; afeta estabilidade numérica.
Com pivotamento parcial, troca-se linhas para maximizar \(|a_{ik}|\) na coluna \(k\).
Função Massa de Probabilidade (pmf)Probabilidade
Para variável discreta, atribui probabilidade a cada valor possível.
\(\sum_x p_X(x)=1\);\; \(\mathbb{P}(X\in A)=\sum_{x\in A} p_X(x)\).
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